AC1和面AA1B1B所成角为
si
cosAC1
AC1
AC1N
32
a
2
1
3a22
AC1
和
面AA1B1B
所成角的正弦值
12
知识点3:二面角(范围:0)
ZA1
A
1
A
xA
x
C1
CB1
1B
C1
C
D
D
B
B
yy
①方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹
角。如图,设二面角l的大小为,其中ABlABCDlCD
结论:
cos
cos
ABCD
ABCDABCD
B
A
lC
D
f②法向量法
1
2
2
1
l
1
2
1
1
2
1
2
2
l
结论:
coscos
1
2
1
2
1
2
或
coscos
1
2
1
2
1
2
归纳:法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角
例3、如图,ABCD是一直角梯形,ABC90,SA面ABCD,SAABBC1,AD1,2
z
求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值
S
解:如图建立空间直角坐标系Axyz,则
B
C
A000C110D010S0012
易知面
SBA的法向量为
1
AD
0
12
0
,
ADy
x
CD110SD011
2
2
设面SCD的法向量为
2xyz,则有
x
y2
y2
z
0
,取z
0
1,得x
1
y
2,
2
1112
cos
1
2
1
2
1
2
63
6
即所求二面角的余弦值为
3
练习1:如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.求二面角AA1BC1的
余弦值;
解:取B1C1中点O1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.设
z
平面AA1B的法向量为
x,y,z.AB103,
A
A1
AA1
0,2,0
.
AB
AA1
AA1
2y
0
ABx3z10
令z1,得平面A1AD的一个法向量
301
COB
x
设平面A1BC1的法向量为vabc.BA1123,BC1220.
FD
B1
C1
y
v
BA1v
BC1
BA1
a
2b
3c0
BC12a2b0
f令a1,得平面A1BC1的一个法向量v113
cos
v
v23
v25
15所求的二面角AA1BC1的余弦值为5
15。5
练习2
如图2,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ADBC,∠ABC900,SA⊥面ABCD,SA1,2
ABBC1,AD1。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。2
r