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第六讲
二次函数的图象和性质
【趣题引路】
例
生产某商品xt需费用10005x
12xx元出售该商品xt时的价格是每吨a元10b
其中ab是常数如果生产出的商品都能卖掉并且当产量是150t时利润最大这时的价格是每吨40元求ab的值解析设卖出xt的利润是y元则yxa
x1210005xxb10112xa5x1000b10
a5150112又由题设知当x150时y最大因此b1015040ab
300ab35即a15040b
解得a45b30当b30时
110b10
∴函数有最大值∴a45b30为所求点评这是一个关于商品的利润问题解决此类问题的关键是函数建模使之转变为函数问题利用一元二次函数的性质求解二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来
【知识延伸】
例1已知二次函数yax2bxc的图象与x轴的一个交点坐标是80顶点坐标是612求这个二次函数的解析式
1
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解析方法一由题意可列方程组
a82b8c0b62ab212c4a
解得a3b3bc96故函数解析式为y3x236x96方法二设所求解析式为yax6212又图象过80∴a862120∴a3故函数解析式为y3x236x96方法三函数图象关于直线x6对称因此图象一定通过点80和点40即48是方程ax2bxc0的两个根因而二次函数可以写成yax4x8又函数图象过612∴a646812∴a3故函数解析式为y3x236x96点评在求二次函数解析式时若已知抛物线上任意三点常设一般式yax2bxca≠0若已知顶点或对称轴常设顶点式yaxm2
其中m
为顶点若已知抛物线与x轴交点的坐标时常设交点式yaxx1xx2a≠0例2已知抛物线yx2pxq上有一点Mx0y0位于x轴下方1求证已知抛物线与x轴有两个交点Ax10Bx20其中x1x22求证x1x0x23当点M为11999时求整数x1x2
y00解析1由已知得pp24q2y0x0px0qx0224
△p24q4x0
p24y00即△02
∴方程x2pxq0有两个实根且不相等不妨设x1x2抛物线与x轴有两个交点Ax10Bx202由韦达定理
x1x2px1x2q
2
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又y0x0px0q0即x02x1x2x0x1x20x0x1x0x20即x1x0x23当点M为11999时有x01y01999则由x1x2为整数x11x21也为整数且x11x21得
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x111999x111或x211x211999x12x12000或x2r