习题五
2设x1x2x
是来自正态分布N2的样本值1设已知求2的最大似然估计
2设2已知求的最大似然估计
解1设已知以记参数2似然函数为
Lx1x
2
2

exi222
2
2ei
1xi22
i1
对数似然函数为
l
L
l
2
l
1
2
2
2

i1
X
i

2

因此对数似然方程l
L0就是

2

122

i1
xi

2

0

解得2的最大似然估计21

i1
xi

2

2设2已知似然函数为
Lx1x
222
2

exi2222
22
2ei
1xi222
i1
对数似然函数为
l

L



2
l
2



2
l

2

12
2

i1
Xi

2

因此对数似然方程l
L0就是
1
2

i1
xi




0

解得的最大似然估计1

i1
xi

3设总体X服从两点分布PXxpx1p1xx01其中p01是未知参数
如果样本观测值为x1x2x
求参数p的最大似然估计解似然函数为
Lx1对数似然函数为
x
p

pxi1p1xipi
1xi1p
i
1xi
i1
51
fl
L

i1
xi
l

p




i1
xi

l
1

p

对数似然方程l
Lp0就是
1
p

i1
xi

11
p



i1
xi


0

解得p的最大似然估计p1

i1
xi

x

5设X服从区间ab上的均匀分布其中ab都是未知参数若x1x2值求ab的最大似然估计和矩估计解先求ab的最大似然估计似然函数为
x
是X的样本
LLx1x
ab

i1
b
1
a
Iabxi



b
1
a


i1
Iab

xi



b
1
a


0
ami
x1x
bmaxx1x
其他
当ami
x1x
bmaxx1x
时L有最大值故ab的最大似然估计是
ami
x1x
bmaxx1x

现在来求ab的矩估计
EX

xpxabdx


b
x
a
Iabxdx

bxdx
x2
b
ab
aba2ba
2
a
EX2
x2pxabdx


x2ba
Iab
xdx

bx2dxx3ba2abb2
aba3ba
3
a
DXEX2EX2ba212
解关于ab的方程组
EXab2
DX
ba2
12
可得aEX3DXbEX3DX因而ab的矩估计是
ax3m2bx3m2
其中
m2

1

i
1xix2
6设总体X有密度pxexIx其中是未知参数
X1X2X
是来自总体的样本求未知参数的最大似然估计和矩估计
52
f解先求的最大似然估计似然函数为
LLX1
X

i1
e
Xi


I


X
i


e
0
ei
1
Xi
mi
X1X
mi
X1X

当mi
X1X
时L有最大值故的最大似然估计是mi
X1X
现在来求的矩估计
EX

xpxdx


xexI

xdx

xexdx

xex


exdxex1



EX1
因而的矩估计是X1
7r