习题五
2设x1x2x
是来自正态分布N2的样本值1设已知求2的最大似然估计
2设2已知求的最大似然估计
解1设已知以记参数2似然函数为
Lx1x
2
2
exi222
2
2ei
1xi22
i1
对数似然函数为
l
L
l
2
l
1
2
2
2
i1
X
i
2
因此对数似然方程l
L0就是
2
122
i1
xi
2
0
解得2的最大似然估计21
i1
xi
2
2设2已知似然函数为
Lx1x
222
2
exi2222
22
2ei
1xi222
i1
对数似然函数为
l
L
2
l
2
2
l
2
12
2
i1
Xi
2
因此对数似然方程l
L0就是
1
2
i1
xi
0
解得的最大似然估计1
i1
xi
3设总体X服从两点分布PXxpx1p1xx01其中p01是未知参数
如果样本观测值为x1x2x
求参数p的最大似然估计解似然函数为
Lx1对数似然函数为
x
p
pxi1p1xipi
1xi1p
i
1xi
i1
51
fl
L
i1
xi
l
p
i1
xi
l
1
p
对数似然方程l
Lp0就是
1
p
i1
xi
11
p
i1
xi
0
解得p的最大似然估计p1
i1
xi
x
5设X服从区间ab上的均匀分布其中ab都是未知参数若x1x2值求ab的最大似然估计和矩估计解先求ab的最大似然估计似然函数为
x
是X的样本
LLx1x
ab
i1
b
1
a
Iabxi
b
1
a
i1
Iab
xi
b
1
a
0
ami
x1x
bmaxx1x
其他
当ami
x1x
bmaxx1x
时L有最大值故ab的最大似然估计是
ami
x1x
bmaxx1x
现在来求ab的矩估计
EX
xpxabdx
b
x
a
Iabxdx
bxdx
x2
b
ab
aba2ba
2
a
EX2
x2pxabdx
x2ba
Iab
xdx
bx2dxx3ba2abb2
aba3ba
3
a
DXEX2EX2ba212
解关于ab的方程组
EXab2
DX
ba2
12
可得aEX3DXbEX3DX因而ab的矩估计是
ax3m2bx3m2
其中
m2
1
i
1xix2
6设总体X有密度pxexIx其中是未知参数
X1X2X
是来自总体的样本求未知参数的最大似然估计和矩估计
52
f解先求的最大似然估计似然函数为
LLX1
X
i1
e
Xi
I
X
i
e
0
ei
1
Xi
mi
X1X
mi
X1X
当mi
X1X
时L有最大值故的最大似然估计是mi
X1X
现在来求的矩估计
EX
xpxdx
xexI
xdx
xexdx
xex
exdxex1
EX1
因而的矩估计是X1
7r