厦门大学《高等数学》课程期中试卷
试卷类型：（理工类A卷）考试日期20111127
高等数学A类教学组
1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）
1xsi
xcosx（1）limx0xsi
22
（3）limsi
x
eta
xesi
x（2）limx01x1l
1xx
（4）limxxl
1x
2x
21cosxxx
1x
1cosxx2
解：（1）lim
x0
1xsi
xcosx1xsi
xcos2xsi
2xxsi
x2lim2lim4x0x0x2x22xsi
2
（2）lim
eta
xesi
xesi
xeta
xsi
x1ta
x1cosx2lim2limx01x1l
1xxx0xl
1xxx0xl
1xx
x22xlim2x0l
1xxx01x11
1l
si
2tcostsi
2tcost1limlim21ttcosxlimsi
2tcosttet0et0e2t0xx
lim
（3）limsi
x
2
（4）limxxl
1x
x
1x
1111cosxlimx2l
1xlimxl
1lim2cosx2xxxxxxx
lim
t0
l
1tt1t11110lim12t0t2t2
2．求下列数列的极限：（每小题4分，共8分）（1）lim123


1
（2）lim
arcta


2
11arcta

1
1
解：（1）3123
3
33


1

，lim12
3
3

（2）法一、由拉格朗日定理，知
11111
，使得
2arcta
arcta
，2
1

11
1
lim
2arcta


11arcta
1
1
法二、lim
2arcta


11arcta
lim
1x0
arcta
xarcta
x2
x1x
1
flim
x0
1x212x22x1112x
3．（10分）设数列x
满足x1

2
，x
1si
x
，
123，

（1）试证明此数列极限存在，并求出limx
；
xx2（2）试求lim
1
。
x
（1）证明：由归纳假设知，0x
1
123，又x
1si
x
x
由单调有界准则可知此数列极限存在；令alimx
则由x
1si
x
，得asi
a故limx
a0；


1
（2）解：lim

x
1x

1
2x

lim

si
x
x

1
2x

lim
x0
si
xx2ex0x
lim
1
l

si
xx2x
ex0
lim
si
xxx3
ex0
lim
cosx13x2
e6。

1
4．（10分）求函数fxx21e
x2x3x1
1cos的间断点，并判断其类型。x
解：其间断点为x0x1x2xr