历年考研数学一真题19872017
（答案解析）
（经典珍藏版）最近三年回顾过去
最近三年篇（20152017）
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷
一、选择题18小题．每小题4分，共32分．
１．设函数fx在上连续，其二阶导数fx的图形如
右图所示，则曲线yfx在的拐点个数为
（A）0
（B）1（C）2
（D）3
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【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从
图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点
x0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正
的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的
点才是拐点，所以应该选（C）
2．设y1e2xx1ex是二阶常系数非齐次线性微分方程
2
3
yaybycex的一个特解，则
（A）a3b2c1（B）a3b2c1
（C）a3b2c1（D）a3b2c1
【详解】线性微分方程的特征方程为r2arb0，由特解可
知r12一定是特征方程的一个实根．如果r21不是特征方程的实根，则对应于fxcex的特解的形式应该为
Qxex，其中Qx应该是一个零次多项式，即常数，与条
件不符，所以r21也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
f

a213b212，同时yxex是原来方程的一个解，代入
可得c1应该选（A）


３．若级数a
条件收敛，则x3x3依次为级数
a
x1
的

1

1
（Ａ）收敛点，收敛点
（Ｂ）收敛点，发散点
Ｃ）发散点，收敛点
（Ｄ）发散点，发散点


【详解】注意条件级数a
条件收敛等价于幂级数a
x
在x1处条件收

1

1
敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即lim

a
1a

1，所以
a
x1
的
1
收敛半径Rlim
a
1，绝对收敛域为02，显然x3x3
1a
1
依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线2xy14xy1与直线yxy3x所围成
的平面区域，函数fxy在D上连续，则fxydxdy（）D
（Ａ）

1
3
d
si
21
frcosrsi
rdr
4
2si
2
（Ｂ）
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1
3
d
si
21
frcosrsi
rdr
4
2si
2
（Ｃ）

1
3
d
si
21
frcosrsi
dr
4
2si
2

1
3
d
si
21
frcosrsi
dr
4
2si
2
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
（Ｄ）
2xy12r2si
cos1r21r1
si
2
si
2
4xy14r2si
cos1r21r1
2si
2
2si
2
也就是
D：
4

1

3

r

2si

1si


1
所以
fxydxdy
3
d
r