2015年全国高中数学联合竞赛一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。1、设a、b为两不相等的实数，若二次函数fxx2axb满足fafb，则f2的值为2、若实数满足costa
，则
1cos4的值为si

3、已知复数数列z
满足z11，z
1z
1
i
12，其中i为虚数单位，z
表示z
的共轭复数，则z2015的值为4、在矩形ABCD中，AB2AD1边DC上（包含DC）的动点P与线段CB延长线上（包含B）的动点Q满足DPBQ则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为
5、在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为6、在平面直角坐标系xOy中，点集Kxyx3y63xy60所对应的平面区域（如图所示）的面积为


7、设w是正实数，若存在abab2，使得
si
wasi
wb2，则w的取值范围
是8、对四位数abcd1a90bcd9，若ab，
bc，cd，则称abcd为p类数；若ab，bc，cd，则称abcd为Q类数用NPNQ分别表示p类数和Q类数的个数，则NPNQ的
值为
2015年全国高中数学联合竞赛试题
第1页共4页
f二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9、（本题满分16分）若实数abc满足242，424，求c的最小值。
abcabc
10、（本题满分
20
分）设
a1a2a3a4是4个有理数，使得
aa
i
j
311ij424213，求a1a2a3a4的值。28
x2y21的左右焦点，设11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆2
不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的的AB，点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1，
l，BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围。
2015年全国高中数学联合竞赛试题
第2页共4页
f2015年全国高中数学联合竞赛二试
一、（本题满分40分）设实数a1a2a3a
（
2）是实数证明：可以选取12
11


使得aiiai
1ai2。i1i1i1
2
2
二、（本题满分40分）设SA1A2A
，其中A1A2A
是
个互不相同的有限集合（
2），满足对任意的AiAjS均有AiAjS，若kmi
Ai2证明：存在xr