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点评熟练应用平面向量数量积的定义式求值注意两个向量夹角的确定及分类完整2夹角问题
例题32005年北京若a1b2cab且ca则向量a与向量b的夹角为
A300
B600
C1200
D1500
2
解依题意aab0aabcos0
cos1
1200
2
学生训练①已知a2b3ab7求向量a与向量b的夹角
故选C
②已知a12b42a与ab夹角为则cos

解①
ab
7
2
2
a2abb7
cosabab
3
1故夹角为600
ab232
f②依题意得ab34cosaab38
5

aab555
变式训练已知ab是两个非零向量同时满足abab求a与ab的夹角
法一解将abab两边平方得ab1a21b2ab
2
2
a2abb
3a
22
则cos

aabaab

2
aabaab

a212
2
a3
2
a
2
a

3故a与ab的夹角为3002
法二数形结合点评注意两个向量夹角共起点灵活应用两个向量夹角的两种求法3向量模的问题
例题4已知向量ab满足a6b4且a与b的夹角为600求ab和a3b
解a6b4且a与b的夹角为600ab12
2
2
2
2
aba2abb76219a3ba6ab9b10863
变式训练
①2005年湖北已知向量a22b5k若ab不超过5则k的取值范围
A46
B64
C62
D26
②2006年福建已知a与b的夹角为1200a3ab13则b等于
A5
B4
C3
D1
解①ab3k2k22956k2故选C
②
2
ab
2
a
2a
2
bb
2
a2
a
b
cos1200

2
b
13解得
b
4故选B
点评涉及向量模的问题一般利用a2aaa2注意两边平方是常用的方法
4平面向量数量积的综合应用
例题52006年全国卷已知向量asi
1b1cos
2
2
1若ab求2求ab的最大值
解1若ab则si
cos0ta
1
2
2
4
2absi
121cos232si
cos322si
4
f3si
21
2
24
44
4
2
当时ab的最大值为322212214
例题6已知向量acossi
bcossi
且ab满足kab3akbkR
1求证abab2将a与b的数量积表示为关于k的函数fk
3求函数fk的最小值及取得最小值时向量a与向量b的夹角
解1acossi
bcossi

a

b
a
b

2
a

2
b

a
2


b
2
11

0

故abab
2kab3akb

ka
b
2

3
a

kb
2

又

2
a

2
b
1k2

2ka
b
1
36ka
b
3k2
abk21k0故fkk21k0
4k
4k
3fkk21k12k11此时当k1fk最小值为1
4k44k44k2
2
cosab1量a与向量b的夹角
ab2
3
小结
1掌握平面向量数量积r