平面向量的数量积
教学目标：i知识目标（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示2平面向量数量积的应用
ii能力目标
1培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力
2正确运用向量运算律进行推理、运算
教学重点1掌握平面向量的数量积及其几何意义
2用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算教学难点平面向量数量积的综合应用
教学过程：
一、追溯
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角是θ，则数量
a

b
cos
叫
a
与
b
的数量积，记作
a

b
，即
a

b


a

b
cos，0
并规定0与任何向量的
数量积为0新疆王新敞奎屯
2．平面向量的数量积的几何意义：数量积
a

b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上投影
b
cos的乘积


3．两个向量的数量积的性质
abeb设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
1ea

ae

a
cos；
2abab0





3当a与b同向时，ab
ab；当a与b反向时，ab

ab
特别地aa新疆王新敞
a2
奎屯
4cosab；
ab
5ab

≤
ab
4平面向量数量积的运算律
①交换律：a

b

b

a
②
数乘结合律：
ab
ab
ab
③
分配律：
a

bc

ac

bc
5平面向量数量积的坐标表示



①已知两个向量ax1y1，bx2y2则abx1x2y1y2
②设
a


x
y
，则

a

x2y2
③平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为
fx1y1、x2y2，那么a
x1x22y1y22



④向量垂直的判定两个非零向量ax1y1，bx2y2，则abx1x2y1y20
⑤两向量夹角的余弦cosab
ab
x1x2y1y2x12y12x22y22
（0）
二、典型例题
1平面向量数量积的运算
例题1已知下列命题
①aa0②abcabc③abcabc④abcacbc
其中正确命题序号是②、④点评掌握平面向量数量积的含义平面数量积的运算律不同于实数的运算律
例题2已知a2b5若1ab2ab3a与b的夹角为300分别求ab
解1当ab时ababcos0025110或ababcos180025110
2当ab时ababcos9002500
3当a与b的夹角为300时ababcos300253532
变式训练已知acos230cos670bcos680cos220求ab
解abcos230cos680cos670cos220cos230si
220si
230cos220si
450r