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第七讲数论综合
教学目标
被世人誉为数学王子的德国数学家高斯曾经说过“如果说数学是科学的皇后那么数论是数学皇后的皇冠。”大家熟知的“费马大定理”，“哥德巴赫猜想”就是这个皇冠上璀璨的明珠。有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
1回顾数论知识体系；2精讲数论经典范例。
专题回顾
【例1】加工某种机器零件要经过三道工序第一道工序每名工人每小时可完成6个零件第二道工序每名工人每小时可完成10个零件第三道工序每名工人每小时可完成15个零件要使加工生产均衡三道工序最少共需要多少名工人
【分析】为了使生产均衡则每道工序每小时生产的零件个数应相等设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人有6A10B15Ck那么k的最小值为61015的最小公倍数即
6101530。所以A5B3，C2，则三道工序最少共需要53210名工人．
【例2】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少
【分析】对90分解质因数902335。因为5126所以5甲即甲中不含因数5于是乙必含因数5。因为2105所以2乙即乙中不含因数2于是甲必含2。因为9105所以9乙即乙最多含有一个因数3，甲必含9。综上所述，甲为18的倍数，所以只能是18。注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a233527b23325711，则A、B的最小公倍数含有质因子235711并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数即依次含有3个3个2个1个1个即ab233352711。
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经典精讲
枚举法
枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。
【例3】求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
【分析】三位数只有900r