一次不定方程
一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程，解这个方程可得。如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程。显然这个方程有无数多组解。比如等。这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。这里主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。§1、二元一次方程的整数解例1求方程的整数解
解若xy为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。由上例可以得到下面的定理定理1若二元一次不定方程，a和b的最大公约数不能整除c，则方程
没有整数解。由此，当ab的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑xy的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理2若整数ab互素，则方程数解。若数解。例2求方程的整数解是方程有整数时，同时方程是方程也有整的一个整
的一个整数解，则
解设xy是已知方程的整数解由xy之中较小的系数4去除各项得
f把
和
中的整数分离出来，得也是整数，设，k为整数，则，
因为5y和x都是整数，则把代入已知方程得
所以是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。当k0，得x4y1，这是方程的一组解，而解的表达式中k的系数5与4，也是已知方程中y与x的系数。一般地。有下面的规律。定理3如果a，b互素，且方程数解可表示为。有一组整数解，则此方程的所有整
这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明。由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解。例3求方程的正整数解。①的一组整数
解因3和5r