∴f11b0且f1l
ab0
∴aeb1即fxl
xx1x0∴fx1∴fx在01上递增在1∞上递减
所以fx的极大值为f1l
e10无极小值
2由1fxl
xx1当
fxxm0恒成立时
即
l
xx1xm0在x∈0∞恒成立同除以x得
2
设gxhx
2
则gxhx又∵m0所以当0x1时gx0hx0当x1时gx0hx0∴gx在01上单调递减在1∞上单调递增gxmi
g1hx在01上单调递增在1∞
上单调递减hxmaxh11∴gxhx均在x1处取得最值所以要使gx≥hx恒成立只需gxmi
≥hxmax即1解得m≥1e又m0∴实数m的取值范围是1e0
突破2利用导数证明问题及讨论零点个数
11解fx
f02因此曲线yfx在点01处的切线方程是2xy10
2证明当a≥1时fxe≥x2x1ex1ex令gxx2x1ex1则gx2x1ex1
当x1时gx0gx单调递减当x1时gx0gx单调递增所以gx≥g10
因此fxe≥0
f2证明fx

x0
令pxx22ax1
由fx在0∞有两个极值点x1x2则方程px0在0∞有两个实根

x1x2

得a4
∴fx1fx2l
x1
l
a2

l
x2
l
x1x2
af
∴f
l
a2l
2
设hal
2a4
则ha

0

∴ha在4∞上为减函数
又h40∴ha0
∴f
3解法1函数fx的定义域为R当a0时fx3x21有两个零点±
fl

原函数草图
∴a0不合题意当a0时当x→∞时fx→∞f01fx存在小于0的零点x0不合题意当a0时fx3ax26x由fx3ax26x0得x10x20∴在区间内fx0
在区间内fx0
在区间0∞内fx0∴fx在区间为减函数在区间
为增函数在区间0∞为减函数
∴若fx存在唯一的零点x0且x00fxmi
f0
2解法2曲线yax3与曲线y3x21仅在y轴右侧有一个公共点
当a≥0时由图象知不符合题意当a0时设曲线yax3与曲线y3x21相切于点x0y0
则
得a2由图象知a2时符合题意
101a24∵a0∴a
解法3分离成a3t33t令yagtt33t
gt3t2331t2当t∈11时gt0当t1或t1时gx0所以gt在∞1递减在区间11递增在1∞递减
所以当t1时gtmi
2由gtt33t的图象可知t1时gtmax2x→∞时gt→∞当a2时直线ya与gtt33t的图象只有一个交点交点在第四象限所以满足题意
4解由fx0得a在区间1e上有两个不同实数解即函数ya的图象与函数gx的图象有
两个不同的交点因为gx

令gx0得x所以当x∈1时gx0函数在1上单调递减当x∈e时gx0函数在r