个黑色小球，它们只有颜色上的区别．（1）从布袋中随机摸出一个小球，求摸出红色小球的概率．（2）现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，甲乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请用树状图（或列表）的方法表示游戏所有可能结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平．
考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法分析：（1）根据概率公式直接求出摸出红色小球的概率即可；
（2）利用树状图法表示出所有可能，进而得出甲、乙获胜的概率即可．解答：解：（1）∵布袋中有2个红色和3个黑色小球，
∴摸出红色小球的概率为：；
（2）∵现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，∴画树状图得出：
∵两小球颜色相同的情况有3种，∴甲获胜的概率为：，
∴乙获胜的概率为：，∴这个游戏是公平的．点评：此题主要考查了游戏公平性以及树状图法求概率，根据已知画出树状图是解题关键．
23．（10分）（2019随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平行线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．（1）求证：AF⊥EF．（2）小强同学通过探究发现：AFCFAB，请你帮忙小强同学证明这一结论．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质．3718684
分析：（1）首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF．
f数学试卷
（2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AFCFAB．解答：证明：（1）∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD∠BAD，
∴，
∴OD⊥BC，∴BC∥EF，∵AB为直径，∴∠ACB90°，即AC⊥BC，∴AF⊥EF；
（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，∵AB是直径，∴∠ADB90°，即AD⊥BH，∴∠ADB∠ADH90°，在△ABD和△ADH中，
，
∴△ABD≌△AHD（ASA），∴AHAB，∵EF是切线，∴∠CDF∠CAD，∠HDF∠EDB∠BAD，∴∠EDF∠HDF，∵DF⊥AF，DF是公共边，∴△CDF≌△HDF（ASA），∴FHCF，∴AFCFAFFHAHAB．即AFCFAB，
f数学试卷
点评：此题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
24．（12分）（2019随州）r