点时
应注意xyz满足原方程。
2．二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法：设fxyxy在点x0y0某领域内有连续偏导数，引入辅助函数
Fxyfxyxy解联立方程组
F
fxxyxxy0xF
fyxyyxy0yxy0
得x0y0可能是zfxy在条件xy0下的极值点
例3经过点111的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体
的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为
xyz
1a0b0c0．abc
因为平面过点111，所以该点坐标满足此平面方程，即有
f11111．
abc
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为
1
Vabc．
6
原问题化为求目标函数2在约束条件1
V，则2
下的最小值．作拉格朗日函数
11Labcabc111．
6abc
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
1
b
c
2
0
2
61
6
ac
2
0a
b2
1
ab2
0
6
c2
由此方程组和9解得abc3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故abc3为所求
平面
xyz3．与
坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为
139
Vmi

362
例4某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：
22
R1514x32y8xy2x10y．
⑴在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．解】⑴利润函数为
LxyRxy1513x31y8xy2x210y2，
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
Lx138y4x0
Lx318x20y0
y
f解得x075，y125．则075125为Lxy惟一的驻点．又由题意，Lxy可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处
达到．所以最大利润为L0751253925万元．
因此，当电视广告费与报纸广告费分别为075万元和125万元时，最大利润为3925万元，此即为最佳广告策略．⑵求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件xy15下，求Lxy的最大值．作拉格朗日函数
FxyLxyxy
22
1513x31y8xy2x10yxy15．求函数Fxy的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
F138y4x0
x
F
318x20y
0
y
并和条件xy15联立解得x0，y15．这是惟一的驻点，又由题意，
Lxy一定存在最大值，故L01539万元为最大值．
【评注】本题也可由xy15，解得y15x，代入目标函数转换成一元函数求解。3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。例52007数学一求r