初中数学竞赛专题培训
第七讲根式及其运算
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．例1化简：
法是配方去掉根号，所以二次根式的性质：
因为x2＜0，1x＜0，所以
原式2xx11．
二次根式的运算法则：
＝abababba．
说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且行化简．
仅例2化简：
f分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．
解法2待定系数法．
例4化简：
2这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
解法1配方法．
配方法是要设法找到两个正数x，yx＞y，使xya，xyb，则分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成
f解设
两边平方得
解法1利用a＋b＝a＋b＋3aba＋b来解．
3
3
3
将方程左端因式分解有
②×③×④得
x4x＋4x＋10＝0．
2
xyz5×7×3535．
2
2
因为
因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
x＋4x＋10＝x＋2＋6＞0，
2
2
xyz35．⑤
所以x4＝0，x＝4．所以原式＝4．
⑤÷②，有z7．同理有x5，y1．所求x，y，z显然满足①，所以
解法2
说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，解设原式x，则因此本题解法1是一般常用的解法．
例8化简：
f解1
解直接代入较繁，观察x，y的特征有
所以
3x5xy＋3y＝3x＋6xy＋3y11xy
2
2
2
2
＝3x＋y11xy
2
＝3×1011×1＝289．
2
本小题也可用换元法来化简．
例11求
分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．
解设根号内的式子为A，注意到1＝21，及平方差公式a＋bab＝ab，所以
22
解用换元法．
A＝212＋12＋12＋1…256＋1＋1
2
4
2
＝212＋12＋12＋1…256＋1＋1
2
2
4
8
2
＝212＋12＋12＋1…256＋1＋1
4
4
8
16
2
f＝…＝25612＋1＋1
2
256
两边平方得
＝2
2×256
1＋1＝2
2×256
，
两边再平方得
x4x＋4＝2＋x，所以x4xx＋2＝0．
4
2
4
2
观察发r