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第一讲排列与组合、二项式定理
考点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．对点训练1．已知I＝123，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有A．12对B．15对C．18对D．20对解析依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D答案D2．2018河北唐山二模用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是A．18B．16C．12D．9解析根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同的四位数，故选D答案D3现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是
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A．120
B．140
C．240
D．260
解析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C
处与A处所涂颜色相同，则C处有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，
则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×1×4＋3×3＝
260种，故选D
答案D
快速审题看到计数问题，想到分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
两个计数原理的应用技巧1在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．2对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
考点二排列、组合排列与组合的异同点
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对点训练1．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有A．60种B．20种C．10种D．8种解析根据题意，可分两步完成：第一步，先安排四盏不亮的路灯，只有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮r