巧用简谐运动的对称性解题
张爱民（乐亭县第一中学河北
乐亭063600）
简谐运动的特点是具有往复性，相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为
等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相同。在实际问题中利用这些特
点分析问题，往往会收到事半功倍的效果。
1）距平衡位置距离相同的两点加速度具有对称性。例1如图1所示，质量为m的物体在竖直弹簧上做简谐运动，当振幅为A时，木块对弹簧压力的最大值为木块重力的15倍，则木块对弹簧压力的最小值为多少？欲使木块不脱离弹簧，其振幅不能超过多少？
解析因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的
压力最大，在最高点对弹簧的压力最小，在最低点根据牛顿第二定律有图1
Nmgma
代入数据解得a05g。由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，
所以最高点的加速度大小为a05g，在最高点根据牛顿第二定律有mgNma
故Nmgma05g
要使木块不脱离弹簧，设其振幅不能超过A，此时木块振到最高点恰在弹簧原长处，
此时的最大加速度为g，由akx知，当振幅为A时，在最低点有05gkA
m
m
当振幅为A时，在最高点有gkAm
由此可得A2A
2）距平衡位置距离相同的两点速度具有对称性
例2如图2所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的动量依次通过A和B两点，历时1s。质点通过B点a
后再经过1s第2次通过B点，在这2s内，质点通过的总
路程为12cm，则质点振动的周期和振幅分别是多少？
A
B
b
O
图2
解析由于质点先后以相同的动量依次通过A和B两点历时2s，则质点在A和B两点
速度大小相同，方向也相同，A和B两点关于平衡位置对称，则由AO和OB所用
时间都为05s。质点通过B点后再经过1s第二次通过B点，由B
b为05s。则T1s，4
所以周期T4s。在这2s内，质点通过和总路程为12cm，则2A12cm，A6cm。
3）利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性
例3劲度系数为K的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的
高度为h。用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）
则
A．运动过程中距地面的最大高度为2h
B．球上升过程中势能不断变小
C．球距地面高度为h时，速度最大
D．球在运动中的最大加速度是khm
f解析因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，
当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做r