60°设AD＝a，则DF＝ADsi
∠CAD＝2
a
a33在Rt△DEF中，EF＝DFcot∠DEF＝＝a，236
13从而GH＝BC＝EF＝a26因Rt△ADE≌△BDE，故BD＝AD＝a，1a从而，在Rt△BDF中，FH＝BD＝221a又FG＝AD＝，从而在△FGH中，因FG＝FH，由余弦定理得22cos∠FGH＝
FG2＋GH2－FH2GH3＝＝2FGGH2FG6
36
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二：如图所示，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD＝CD，平面ABC⊥平面ACD，易知
FC，FD，FM两两垂直．以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立
空间直角坐标系F－xyz不妨设AD＝2，由CD＝AD，∠CAD＝30°，
2
f→易知点A，C，D的坐标分别为A0，－3，0，C0，3，0，D001，则AD＝0，3，1．显然向量k＝001是平面ABC的一个法向量．已知二面角C－AB－D为60°，故可取平面ABD的一个单位法向量
＝l，m，
，使得1〈
，k〉＝60°，从而
＝2→3由
⊥AD，有3m＋
＝0，从而m＝－6由l＋m＋
＝1，得l＝±
222
63→→→6，有3
设点B的坐标为Bx，y0，由AB⊥BC，
⊥AB，取l＝
x＋y＝3，633x－6y＋3＝0，x＝0，y＝－3
2
2
x＝496，解之得，y＝793
或
舍去．
易知l＝－
6与坐标系的建立方式不合，舍去．3→
4673因此点B的坐标为，，0所以CB99
→→233－→→ADCB92346＝＝，－，0从而cos〈AD，CB〉＝→→994622323＋1＋－ADCB99＝－3636
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为
3．13分2011浙江卷如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2
3
f1证明：AP⊥BC；2在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．分析：此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解，对1问线线垂直的证明易入手，利用线面垂直即可进行证明；对2问可采用空间直角坐标向量法进行处理；解题时对2问要注意恰当建立坐标系，恰当设参数，从而有效快速求解．解：方法一：1如图，以O为原点，以射线OP为
z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz
则O000，0，A－30，420，－420，BC
P004，
→→→→AP＝034，＝－800，BC由此可得APBC＝0，
→→所以AP⊥BC，即AP⊥BC→→→2设PM＝λPA，λ≠1，则PM＝λ0，－3，－4．r