齐次线性方程组有解：矩阵A的行向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组bk1dk20有非零解，ckekfk0231a00
非零解的充分必要条件是其系数行列式Db
dce
0adf0，故矩阵A的行向量线性相关的充要条件是Af
的主对角线上的元素至少有一为零。８．设β1α1α2，β2α2α3，β3α3α4，β4α4α1．证明向量组β1β2β3β4线性相关．解：要证明β1β2β3β4线性相关，就要找到不全为零的数k1k2k3k4，使得k1β1k2β2k3β3k4β40上式的左端可写成k1β1k2β2k3β3k4β4k1α1α2k2α2α3k3α3α4k4α4α1
k1k4α1k1k2α2k2k3α3k3k4α4
1001k1k40kk0110012令，由于其系数行列式D0故有非零解。即存在不全为零的数k1k2k3k4，k2k300110k3k400011亦即k1β1k2β2k3β3k4β40成立，使k1k4α1k1k2α2k2k3α3k3k4α40成立，
所以，β1β2β3β4线性相关。９．设向量组α1α2α3线性无关．证明：向量组α1α2α2α3α3α1也线性无关．证明：设k1α1α2k2α2α3k3α3α10，即k1k3α1k1k2α2k2k3α30，
k1k30k10因为α1α2α3线性无关k1k20，解得k20，故向量组α1α2α2α3α3α1线性无关。kk0k0233
１０．判断下列各命题是否正确：（1）若向量组α1α2Lα
是线性相关的，则向量α1可由向量组α2Lα
线性表示．（错）（2）若向量β不能由向量组α1α2Lαm线性表示，则向量组α1α2Lαmβ线性无关．（错）（3）若k1k2Lkm不全为0时，k1α1k2α2Lkmαm≠0，则向量组α1α2Lαm线性无关．（错）（4）若向量组α1α2Lα
和向量组β1β2Lβ
分别线性相关，则有不全为0的数k1k2Lk
，使得
k1α1k2α2Lk
α
0，k1β1k2β2Lk
β
0
同时成立．（错）１１．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组：
012113（1）202211
3113330123初等行变换（行阶梯形）A的列向量组线性无关，列向量组r4uuuuuuuuuuuuu001120001
的极大无关组就是它本身。
48
f112211120215r