二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情况
设方程ax2bxc0a0的不等两根为x1x2且x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的
根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，
布
情况
x10x20
x10x20
一个大于0x10x2
大致图象（
a0
）
得出的结论
大致图象（
a0
）
0


b2a

0
f00
0



b2a

0
f00
f00
得出的结论
0


b2a

0
f00
综
合
结
0
论（不讨论

b02a
af00
a
）
0



b2a

0
f00
0

b02a
af00
f00af00
1
f分布情况
大致图象（
a0
）
得出的结论
大致图象（
a0
）
得出的结论
综合结论（不讨论
a
）
表二：（两根与k的大小比较）
两根都小于k即x1kx2k
两根都大于k即x1kx2k
一个根小于k，一个大于k即x1kx2
k
0


b2a

k
fk0
k
0



b2a

k
fk0
k
fk0
0



b2a

k
fk0
0

bk2a
afk0
0



b2a

k
fk0
0

bk2a
afk0
fk0afk0
2
f表三：（根在区间上的分布）
分布情
两根都在m
内
两根有且仅有一根在m
内一根在m
内，另一根在pq
况
（图象有两种情况，只画了一种）内，m
pq
大致图象（
a0
）
得出的结论
大致图象（
a0
）
0

fm0f
0
m
b



2a
fmf
0
fm0


ff

0p0
或

ff
mp
ff

q

00

f
q

0
0
得出的

fm0f
0
结论
m
b



2a
fmf
0
fm0


ff

0p0
或


ff
mp
ff

q

00

f

q

0
综
合
结
论
（不

讨
论
a
）
fmf
0
fmf
0
fpfq0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m
外，即在区间两侧x1mx2
，（图形分别如下）需满
足的条件是
3
f（1）
a

0时，

ff
m0
0
；
（2）a

0时，

ff
m0
0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在m
内有以下特殊情况：
若fm0或f
0，则此时fmf
0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或
，可以
求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m
内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间
13上有一根，因为f10，所以mx2m2x2x1mx2，另一根为2，由123得2m2
m
m
r