2x3z1z2
2
2
故该二次型的秩为2，正惯指标为1，负惯性指标为1，符号差为03如果把
阶对称矩阵按合同关系进行分类，即把彼此合同的
阶对称矩阵算一类，那么所有
阶复对称矩阵共有多少个不同的合同类？所有
阶实对称矩阵又有多少个不同的合同类？答：
阶复对称矩阵共有
1个不同的合同类；
阶实对称矩阵共有

1
2
2
个不同的合同类
4试证一个实二次型可以分解为两个实系数一次多项式的乘积的充分必要条件是：或者它的秩为2且符号差为0，或者秩为1
f证明：必要性设fx1x2x
a1x1a2x2a
x
b1x1b2x2b
x
其中aibii12
均为实数1若上式右边的两个一次式系数成比例，即bikaii12
不失一般性，可设a10，则可作非退化线性替换y1a1x1a2x2a
x
2，使二次型化为fx1x2x
ky1yixii2
故二次型fx1x2x
的秩为12若两个一次式系数不成比例，不妨设a1b1a2b2，则可作非退化线性替换
y1a1x1a2x2a
x
y2b1x1b2x2b
x
，使fx1x2x
y1y2yixii3
y1z1z222再令y2z1z2，则二次型可化为fx1x2x
y1y2z1z2yzi3
ii
故二次型fx1x2x
的秩为2，且符号差为0充分性1若fx1x2x
的秩为1，则可经非退化线性替换ZCY使二次型fx1x2x
ky1，其中y1为x1x2x
的一次齐次式，即
2
y1a1x1a2x2a
x
且fx1x2x
ka1x1a2x2a
x
2
ka1x1ka2x2ka
x
a1x1a2x2a
x
2若fx1x2x
的秩为2，且符号差为0，则可经过非退化线性替换ZCY使二次型化为fx1x2x
y1y2y1y2y1y2
22
a1x1a2x2a
x
b1x1b2x2b
x
故fx1x2x
可表示成两个一次齐次式的乘积5在实数域上r