3222令x2y2y3，标准型为fx1x2x3y1y2x3y31P0011011T1，PAP001010000
y1x1x2即作了线性变换y2x2x3yx33
f2223由题有100202T1131002010T322100
254010021010020010
224225T32101000102103T3110110001021010
011011
22405T2312010001021010
021010001221121
215001
20010311T23210010
001212222fx1x2x32y12y22y31212110001011Ty1y2y3211100
122
可逆线性替换为x1x2x3
T
x1x24做线性替换x3x4
y1y2
1y1y21该线性替换的矩阵为P0y3y4y3y40
222
0011
12
0011y2y3y4
222
替换后得二次型2y12y1y2y3y4，配方后有2y1z1作线性替换y1
12
y2
y2
z2y2z3y3z4y4
y1即
z1
12
z2
y2z2y3z3y4z4
10，它的矩阵为Q00
212
100
12
0010
0001
这个可逆线性替换最终把二次型化为标准型2z1
z2z3z4
22
2
f11TPQ00
12
0
32
00
011
00，11
TT
可逆线性替换为x1x2x3Tz1z2z3
3证明：秩为r的对称矩阵可以写成r个秩为1的对称矩阵之和证：设A为
阶对称矩阵且秩为r，则存在可逆矩阵P，使得a1TPAPai0i12r