）知
平面PBE⊥平面PAB所以AH⊥平面PBE
F
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF2AB2AP在等腰Rt△PAF中，取PFの中点G，连接AG
Fpg
HD
AB
EC
fFpg
则AG⊥PF连结HG，由三垂线定理の逆定理得，PF⊥HG所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角の平面角（锐角）
在等腰Rt△PAF中，AG2PA22
在Rt△PAB中，AHAPABAPAB225
PB
AP2AB255
25所以，在Rt△AHG中，si
AGHAH510
AG25
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）の大小是arcsi
105
练习3已知斜三棱柱ABCA1B1C1の棱长都是a，侧棱与底面成600の角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。
C1
（1）求证：AC1⊥BC；
（2）求平面AB1C1与平面ABC所成の二面角（锐角）の大小。
A1B1
提示：本题需要补棱，可过A点作CBの平行线L（答案：所成の二面角为45O）
AL
C
B
四、射影面积法（cosqs射影）S
凡二面角の图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上の射影图形面积の都可利用射影
面积公式（cosS射）求出二面角の大小。S斜
P
例4．如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，
APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPCの大小；
A
B
C
分析：本题要求二面角BAPCの大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP
中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射
P
于是得到下面解法。
解：（Ⅰ）证略
E
（Ⅱ）ACBC，APBP，△APC≌△BPC．
又PCAC，PCBC．
A
B
Fpg
C
fFpg
又ACB90，即ACBC，且ACPCC，
BC平面PAC．取AP中点E．连结BE，CE．ABBP，BEAP．EC是BE在平面PAC内の射影，
CEAP．
∴△ACE是△ABE在平面ACP内の射影，
于是可求得：ABBPAPAC2CB222，BEAB2AE26，AEEC2
则S射

SACE

12
AECE

12
2
21，
S原

SABE

12
AEEB
12
2
6
3
设二面角BAPCの大小为，则cosS射13S原33
∴二面角BAPCの大小为arccos33
DA
D1
A1图5
CB
E
C1B1
练习4：如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1の棱CC1の中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角の余弦值
分析平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角の棱没有给出，要找到二面角の平面角，则必须先作
两个平面の交线，这给解题带来一定の难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上の射影是三角形
A1B1C1，从而求得两个三角形の面积即可求得二面角の大小。
（答r