知点B作另一半平面FC1Cの垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1の垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理の基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角の度数。
例2．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4BCCD2AA12
E、E1、F分别是棱AD、AA1、ABの中点。（1）证明：直线EE1平面FCC1；
D1A1
C1B1
（2）求二面角BFC1Cの余弦值。
E1
D
E
A
F
CB
证（1）略解（2）因为AB4BCCD2、F是棱ABの中点所以A1BFBCCF△BCF为正三角形取CFの中点O则OB⊥CF又因
为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中CC1⊥平面ABCD所以CC1⊥E1
BO所以OB⊥平面CC1F过O在平面CC1F内作OP⊥C1F垂足为A
P连接BP则∠OPB为二面角BFC1Cの一个平面角在△BCF
D1F1
C1B1
P
D
C
E
O
F
B
为正三角形中OB
3在
Rt△CC1F
中
△OPF∽△CC1F∵
OPCC1

OFC1F
∴OP
122
2222
2
Fpg
fFpg
在Rt△OPF中BP
OP2OB2
132
14cosOPBOP
2
BP
227所以二面角147
2
BFC1Cの余弦值为
7
7
练习2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知
AB3AD2PA2PD22PAB60．
（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成の角の大小；（Ⅲ）求二面角PBDAの大小．
分析：本题是一道典型の利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P就是二面角PBDAの半平面上の一个点，于是可过点P作棱BDの垂线，再作平面ABCD
の垂线，于是可形成三垂线定理中の斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角PBDAの大
小为arcta
39）
4
P
三．补棱法
本法是针对在解构成二面角の两个半平面没有明确交线の求二
面角题目时，要将两平面の图形补充完整，使之有明确の交线（称
为补棱），然后借助前述の定义法与三垂线法解题。即当二平面没有
明确の交线时，一般用补棱法解决
例3如图所示，四棱锥PABCDの底面ABCD是边长为1の菱形，
∠BCD＝60°，E是CDの中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）の大小
A
DEC
B
分析：本题の平面PAD和平面PBE没有明确の交线，依本法显然要P
补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF）再在完整图形中の
PF上找一个适合の点形成二面角の平面角解之。（Ⅰ）证略
G
解（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰr