2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1．已知集合A＝x1x3，B＝1，0，1，2，3，则AB＝
．
2．已知复数z满足1iz3i（其中i为虚数单位），则复数z的模为
．
3．双曲线x2y21的顶点到渐近线的距离为
．
45
4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，
则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为
．
1
5．函数fx2log4x1的定义域为
．
x22x0
6．函数
f
x
满足
f
x4

f
xxR，x2，2时，f
x

ta

x4
0
x

，则
2
f

f
17
的值为
．
7．设函数
fxsi
x
0，若
fx
f


对任意的实数
x
都成立，则

的最小值为
．
8
4
8．已知函数
f
x

2x，x0
lg
x，x

0
，则不等式
f
x

x1的解集为
．
9．设aR，函数fx3x3a1x2ax为奇函数，则函数fx的极大值为
．
10．已知si
4，0，则cos＝
．
65
2
12
11．已知log2alog2b2，则2a2b的最小值为
．
12．如图，在△ABC中，D为AC的中点，BC⊥BD，BC＝2，
则BABC＝
．
13．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．若si
Csi
A＝2si
AcosB，b，则实数
a
的取值范围为
．
14．定义在R上的函数fx，gx，hx，若对xR，点x，hx，x，gx关于点x，fx
对称，则称函数hx是函数gx关于函数fx的“对称函数”．已知函数hx是函数
gxax1关于函数fxx28x的“对称函数”且函数hx存在4个零点，则实数a的取
值范围为
．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答应写出文字说明，证明过程
f或演算步骤．）15．（本题满分14分）
如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥平面SCD；（2）求证：BD⊥SC．
16．（本题满分14分）
已知平面向量asi
，cos2，b3cos，t，tR．
2
（1）若ab，求t的值；
（2）若t＝3，ab，求ta
2的值．
4
17．（本题满分14分）
设等比数列a
的前
项和为S
，且a1a23a1a2，4a1，3S2，2S3成等差数列．（1）求数列a
的通项公式；（2）设等差数列b
中，b1a2，b8a61．①求数列b
的前
项和T
；②若对
N，不等
式
a
2T
3
0恒成立，求实数的最小值．
f18．（本题满分16r