近世代数模拟试题库
一、计算题每题10分，共30分1求S＝（12），（13）在三次对称群S3的正规化子和中心化子。
2设G＝1，－1，i，－i，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。
3设
R
是由一切形如

xy00

（x，y
是有理数）方阵作成的环，求
出其右零因子。
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f二、单项选择题每题5分，共25分
1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。
A0
B1
C－1
D1
，
是整数
2、下列说法不正确的是（）。
AG只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群
BG是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群
CG是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群
DG是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群
3、下列叙述正确的是（）。
A群G是指一个集合
B环R是指一个集合
C群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在
D环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在
4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是。
A反身性B对称性C传递性D封闭性
5、下列哪个不是S3的共轭类。
A（1）B（123），（132），（23）C（123），（132）D（12），（13），（23）
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f三、证明题每小题15分，共45分1、设R是由一切形如xy00（x，y是有理数）方阵作成的环，证
明

0000

是其零因子。
2、设Z是整数集，规定ab＝a＋b－3。证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。
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f3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。
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f近世代数模拟试题答案
一、单项选择题每题5分，共25分1．A2．D3．C4．D5．B
二、计算题每题10分，共30分
1．解：正规化子N（S）＝（1），（23）。。。。。。。。。。。。（6分）中心化子C（S）＝（1）。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）
2．解：群G中的单位元是1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）1的阶是1，－1的阶是2，i和－i的阶是4。。。。（4×2分）
3．
解：设其右零因子为

ab00

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2
分）
所以

xy00


ab00

＝

xa00
xb

＝0。。。。。。。。。。。。。。。r