一阶常系数线性齐次微分方程组的求解
【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行开始时位于点P010处如果知道虫子在点Pxy处沿x轴正向的速率为4x5y沿y轴正向的速率为2x3y如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程
y
何去何从
O1
x
图31虫子爬行的轨迹
【模型假设】设t时刻虫子所处位置的坐标为xtyt
【模型构成】由已知条件和上述假设可知
dx
dt

dy
dt

4x2x
5y3y
而且x0
y0

1
0
现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程
【模型求解】令
A


42
53


则EA

42

5
3

12
可见A的特征
值为1122EAx0的一个基础解系为111T2EAx0的一个基础解系为252T
令P12
则
P1AP


10
02


记
X


xy


Y


uv


并且作线性变换XPY
则YP1X
dYdt

P1
dXdt

P1AX

P1APY


10
02

Y
即
dudv
dtdt



10
02

uv


故uc1etvc2e2t
即
Y


c1etc2e2t


因而

c1c2


Yt
0

P1Xt
0


21
33
5313

10



2313

于是
fY



2et31e2t3



X

PY

11
52


2et31e2t3





2
32
3
etet

5
32
3
e2te2t



这就是说
虫子爬行的轨迹的参数方程为

xy


232
etet

532
e2te2t
33
如果在Matlab命令窗口输入以下命令
ezplot23expt53exp2t23expt23exp2t01grido
axis01205
Matlab执行后得
图32Matlab绘制的虫子爬行轨迹
【模型分析】从图32可以看出虫子爬行的轨迹接近一条直线
Matlab实验题一只虫子在平面直角坐标系内爬行开始时位于点P001处如果知道虫
子在点Pxy处沿x轴正向的速率为xy沿y轴正向的速率为2xy求虫子爬行的轨迹的参数方程并绘制虫子爬行的轨迹
fr