双曲线的简单几何性质教案
一、学习目标
知识目标了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。能力目标通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力情感目标使学生在合作探究活动中体验成功激发学习热情，感受事物之间处处存在联系
二、学习重点、难点
1教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2教学难点：双曲线的渐近线
三、学习过程：
（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该
研究双曲线
x2a2

y2b2
1a

0b
0的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等
这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）新课：
我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。
1
双曲线
x2a2

y2b2
1a
0b
0的简单几何性质
（1）范围
从图形看，x的取值范围是什么？
师生：xa或xa
从标准方程能否得出这个结论呢？
y2b2

x2a2
1
0

xa
22
1即x2

a2
y的范围呢？yR
xa或xa
（2）对称性
从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x轴、y轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？
提示：用y代替原方程中的y，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。同理，若用x代替原方程中的x，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用xy分别代替原方程中的xy，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点
椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）
类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲
f线
x2a2

y2b2
1a
0b

0的顶点有几个？顶点坐标是？a0
虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把0b标在图
形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。
椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长
我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：
ab。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的r