有关直线与圆的几个典型例题
本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解答题中往往是出现在第（1）小题中，考查的热点是求直线的方程，两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的几何性质的应用。
例1：在ΔABC中，已知顶点A31过点B的内角平分线所在直线的方程为x4y100，过点C的中线所在直线的方程为6x10y590，求顶点B的坐标及BC边的方程。
解：设B点坐标为xy则AB的中点E的坐标为
，
因E在直线6x10y590上，
∴610590，整理得3x5y550。又过点B的内角平分线所在直线方程为x4y100。
解方程组
得
∴B点坐标为105。
设BC边所在直线斜率为kAB边所在直线斜率kAB，角B平
分线的斜率为。
则
，∴k。
∴BC边所在直线方程为2x9y650。评注：本题是关于求直线方程的例题。
例2：已知过点A11，且斜率为mm0的直线l与xy轴分别交于P、Q点，过P、Q作直线2xy0的垂线，垂足分别为R，S，
ofrualdi
kgwtescpbyhm
f求四边形PRSQ的面积的最小值。解：设直线l的方程为y1mx1，则P、Q的坐标分别为10
01m。∴PR所在直线方程为yx即x2y0，
QS所在直线方程为yxm1即x2y2m10。
又PR
，QS，
∴四边形PRSQ的面积为
∵m0∴m≥2
∴当m1时，Smi
36。故四边形PRSQ面积的最小值为36。评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题例3：根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在直线l1：5x3y0上，并且圆与直线l2：x6y100相切于点P41；（2）圆过点P24，Q31，并且在x轴上截得的弦长等于6；（3）圆心在曲线y218x上，并且既与y轴相切又与圆x22y321外切。解：（1）设圆心为C3t5t
∵PC⊥l2，∴kPC1，即
1，则t1，
2
ofrualdi
kgwtescpbyhm
fofrualdi
kgwtescpbyhm
f证法2：圆心C01到直线l的距离
d
1对m∈R成立，
∴对m∈R，l与圆C总有二个不同的交点。
证法3：将y1mx1代入圆C方程，消去y得
1m2x22m2xm2501Δ16m2200恒成立，
∴对m∈R，l与圆C总有二个不同的交点。
评注：判断直线与圆相交，一般有以下三种方法：
①直线过圆内一定点；
②圆心到直线的距离小于半径；
③直线与圆的方程组成的方程组有二个不等实根。
（2）解法1：设Ax1y1Bx2y2则x1x2为方程1的两实根，
∴AB
x1x2

，
则

，∴m±，
r