月制造成本最低．最低成本是18×（2×32100）648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．（10分）（可不画图，叙述有理即可）23、（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴ABAC，∠C∠CAB60°，又∵AECF，（1分）在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），（2分）∴AFBE，∠ABE∠CAF．又∵∠APE∠BPF∠ABP∠BAP，∴∠APE∠BAP∠CAF60°．∴∠APB180°∠APE120°．（3分）②∵∠C∠APE60°，∠PAE∠CAF，（4分）∴△APE∽△ACF，∴，即（5分），所以APAF12（6分）
（2）若AFBE，有AEBF或AECF两种情况．①当AECF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP∠BAP30°，（7分）∴∠AOB120°，又∵AB6，
f∴OA
，．（8分）
点P的路径是
②当AEBF时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；（9分）∵等边三角形ABC的边长为6，∴点P的路径的长度为：所以，点P经过的路径长为或3．（10分）．
24、解：（1）∵yx4与x轴交于点A，∴A（4，0），∵点B的横坐标为1，且直线yx4经过点B，∴B（1，3），∵抛物线yaxbx经过A（4，0），B（1，3），∴，解得：，∴a1，b4；（3分）
2
（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，∵B（1，3），A（4，0），∴OD1，BD3，OA4，∴AD3，∴ADBD，∵∠BDA90°，∠BAD∠ABD45°，∵MC⊥x轴，∴∠ANC∠BAD45°，∴∠PNF∠ANC45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN∠PNF45°，∴NFPFt，∵∠DFM∠ECM90°，∴PF∥EC，∴∠MPF∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC∠BOD，∴∠MPF∠BOD，∴ta
∠BODta
∠MPF，∴∴MF3PF3t，∵MNMFFN，∴d3tt4t；3，（7分）
（3）四边形OMNB的面积有最小值．设OPm，四边形OMNB的面积为S，先连接ON、AM，再证△OAN≌△ACMSAS，可知CM＝AN＝AP，（9分）
3×4243，∴CMANAP4－m，CNOPm，4过M作MF⊥AC垂足为F
ABBC4，S△ABC
则MFMCsi
60∴S△CMN
34m，2
1331CNMFm4mm23m，2422
32m3m）4
∴SS△OAC－S△CMN43－（
3m22334
∴在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最小值为33
（12分）
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