定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中3
的坐标。
解（1）在直角坐标系中x4cos232、y4si
2323、z3故该点的直角坐标为2233。
f（2）在球坐标系中
r42325、ta
143531、23120
故该点的球坐标为5531120
用球坐标表示的场
E

er
25r2
，
（1）求在直角坐标中点345处的E和Ex；
（2）求在直角坐标中点345处E与矢量Bex2ey2ez构成的夹角。
解（1）在直角坐标中点345处，r232425250，故
E

er
25r2

12
Ex
ex
E
E
cosrx
13252
3220
（2）在直角坐标中点345处，rex3ey4ez5，所以
E

25r2

25rr3

ex3ey4ez5102
故E与B构成的夹角为
EB
cos1EE
Bcos119B
1032
21536
球坐标中两个点r111和r222定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为
解由
coscos1cos2si
1si
2cos12R1exr1si
1cos1eyr1si
1si
1ezr1cos1
R2exr2si
2cos2eyr2si
2si
2ezr2cos2
得到
cosR1R2R1R2
si
1cos1si
2cos2si
1si
1si
2si
2cos1cos2
si
1si
2cos1cos21si
1si
2cos1cos2
si
1si
2cos12cos1cos2
一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：er3si
dS的值。
S
2
解er3si
dSer3si
erdSd3si
52si
d752
S
S
0
0
在由r5、z0和z4围成的圆柱形区域，对矢量Aerr2ez2z验证散度定理。
解所以
在圆柱坐标系中
A1rr22z3r2
rr
z
425
Addzd3r2rdr1200

0
0
0
又
AdSerr2ez2zerdSredSezdSz
S
S
42
52
525ddz24rdrd1200
00
00
故有
Ad1200AdS

S
求（1）矢量Aexx2eyx2y2ez24x2y2z3的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的
积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
f解（1）Ax2x2y224x2y2z32x2x2y72x2y2z2
x
y
z
（2）A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

Ad

12
12
12
2x2x2y72x2y2z2dxdydz
1

121212
24
（3）A对此立方体表面的积分
AdS121212dydz121212dydz
S
21212
21212
12122x212dxdz12122x212dxdz
1212
2
1212
2
121224x2y213dxdy121224x2y213dxdy1
1212
2
1212
2
24
故有


Ad

124


S
A
dS
计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求r对球体积的积分。
2
解
rdSrerdSdaa2si
d4a3
S
S
0
0
又在球坐标系中，
r

1r2
r
r2r

3，所以
2a
rd3r2si
drdd4a3

000
求矢量Aexxeyx2ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路r