高中数学立体几何空间距离
1两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异
面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离2点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离3直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距
离叫做这条直线和平面的距离
4两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫
做这两个平行平面的距离题型一:两条异面直线间的距离【例1】如图,在空间四边形ABCD中,ABBCCDDAACBDa,E、F分别是AB、CD的中点1求证:EF是AB和CD的公垂线;2求AB和CD间的距离;【规解答】1证明:连结AF,BF,由已知可得AFBF又因为AEBE,所以FE⊥AB交AB于E同理EF⊥DC交DC于点F所以EF是AB和CD的公垂线
2在Rt△BEF中,BF3aBE1a
2
2
所以EF2BF2BE21a2,即EF2a
2
2
例1题图
由1知EF是AB、CD的公垂线段,所以AB和CD间的距离为2a2
【例2】如图正四面体ABCD的棱长为1,求异面直线AB、CD之间的距离设AB中点为E,连CE、ED∵ACBCAEEB∴CD⊥AB同理DE⊥AB∴AB⊥平面CED设CD的中点为F连EF,则AB⊥EF同理可证CD⊥EF∴EF是异面直线AB、CD的距离
∵CE3∴CFFD1∠EFC90°EF
2
2
32
2
12
2
22
例2题图
∴AB、CD的距离是22
【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法:
(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度
(2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离
(3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面,可以转化为求两平行平面的距离
题型二:两条异面直线间的距离【例3】如图1正四面体ABCD的棱长为1,求:A到平面BCD的距离;过A作AO⊥平面BCD于O,连BO并延长与CD相交于E,连AE∵ABACAD∴OBOCOD∴O是△BCD的外心又BD=BC=CD,
∴O是△BCD的中心,∴BO2BE2333323
例3题图
f又AB=1,且∠AOB90°∴AO
AB2BO2
1
323
6∴A到平面BCD的距离是3
63
【例4】在梯形ABCD中AD∥BC∠ABCABaAD3a且si
∠ADC5又PA⊥平面ABCDPAa
2
5
求:1二面角PCDA的大小2点A到平面PBC的距离
【规解答】1作AF⊥DC于F连结PF
∵AP⊥平面ABCDr