得分
一、简答题每题8分共计40分
1事件的独立性是否存在传递性即事件A与事件B相互独立，事件B与事件C相
互独立，能否推知事件A与事件C相互独立？试举例说明
解答事件的独立性不存在传递性
3分
反例独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下
A出现正面，B掷出第6点，C出现反面
6分
则事件A与事件B相互独立，事件B与事件C相互独立，但事件A与事件C不相互独立
8分
2给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事
件组的独立性？
解答设
维随机变量X1X2X
的联合分布函数为Fx1x2x
，若对所有实数组x1x2x
均有
Fx1x2x
F1x1F2x2F
x

成立称X1X2X
相互独立
3分
若对一切1≤i1i2≤
及xi1xi2都有Fxi1xi2Fi1x1Fi2xi2
X1X2X
两两独立5分
成立则
维随机变量
根据分布函数的定义
维随机变量X1X2X
相互独立即对任意实数向量x1x2…x
个
随机事件AkXk≤xkk12…
，都相互独立
8分
1
1
3设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：PX－1PY－12PX1PY12，试计算概
率PXY和PXY0解答根据X与Y的边缘分布律得下表
3分
XY
－1
1
X
－1
12
1
12
Y
12
12
1根据随机变量X与Y的相互独立性可知上表中四个空格处概率均为4
有下表
XY
－1－1
－11
1－1
6分11
p
14
14
14
14
111
111
可得PXY442PXY0442
注用其他表达形式得到结果类比给分
8分
4在区间02上任意取两个数xy，试求两数满足不等式x24y4x的概率
解答“任意选取两个数”意味x和y在02上
等可能被选取，即二维随机点XY在边长为2
的正方形上服从均匀分布，
3分
所求概率为
第1页共3页
fp12x1x2dx18分
404
3
5假设随机变量X服从指数分布，试求Ymi
X2的分布函数，并讨论随机变量Y是否为连续型随机变量，为什么？
0
y0
解FXxPmi
X2yPXy0y2
1
y2
3分
0
y0
1ey0y2
1
y2
6分
连续型随机变量的分布函数处处连续FXx在y2处不连续，故Y非连续型随机变量
8分
得二分、
二、证明题12分已知随机变量X与Y相互独立且XU01YB1p证明X2与Y2
相互独立
证明需证对任意的yR及k01，r