连续函数的运算与性质概述
分布图示
★连续函数的算术运算★复合函数的连续性
★例1★例2★初等函数的连续性★幂指函数★最大值和最小值定理
★例7★例8★内容小结★习题111
★例3★例5
★例4
★零点定理与介值定理
★例9
★例10
★课堂练习
内容要点
一、连续函数的算术运算
定理1若函数fxgx在点x0处连续则
cfxc为常数）fxgx二、复合函数的连续性
fxgx
fxgx
gx0

0
在点
x0处也连续
定理2若limxa函数fu在点a出连续则有xx0
limfxfaflimx
xx0
xx0
101
定理3设函数ux在点x0连续且x0u0而函数yfu在点uu0连续
则复合函数fx在点x0也连续
三、初等函数的连续性：定理4基本初等函数在其定义域内是连续的定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的注：定理6的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景四、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理有界性定理零点定理介值定理
例题选讲
复合函数的连续性例1E01求liml
1xx0x
f解
liml
1x
1
liml
1xx

1
l
lim1xx
l
e
1
x0x
x0
x0

例2E02求limcosx1xx
解
limcos
x1
x


cos
lim

x1
x
x1
x
x
x
x1x


1
coslim
cos01
xx1x
例3求limax1x0x
解
令ax
1
y则xloga1
x

l
1yl
a

易见当x0时y0所以
limax1limyl
alim
x0x
y0l
1yy0
l
a1l
a
l
1yy
3
例4求lim12xsi
xx0
解
因为
3
12xsi
x
116
12x2xsi
x
所以
3

1

xsi

x
6
lim12xsi
xlim12x2x
e6
x0
x0

初等函数的连续性
例5E03求limexx22x1
解
因为
f
x

ex2x1
是初等函数，且
x0

2
是其定义区间内的点，所以
f
x

ex2x1
在
点x02处连续，于是
limexe2e2x22x12215
1
例6E04求limx2exx1x0
解
1
1
limx2exx1

lim

x

2e
x

lim
x0
x1
211
x0
x0
2
f闭区间上连续函数的性质例7E05证明方程x34x210在区间01内至少有一个根证令fxx34x21则fx在01上连续又f010f120
由零点定理01使f0即34210方程x34x210在01内至少有一个实根
例8E06设函数fx在区间ab上连续且faafbb
证明存在ab使得f证令Fxfxx则Fx在ab上连续
而Fafr