首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
（2004年7月10日8：0012：00一、设实数a、b、c满足a2b3c
222
温州）
二、设D是ABC的边BC上的一点，P在线段AD上，点过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DEDF，求证：DMDN三、（1）是否存在正整数的无穷数列a
，使得对任意的正整数
都有a
1≥2a
a
2。
2
3abc，求证：3927≥12
（2）是否存在正无理数的无穷数列a
，使得对任意的正整数
都有a
1≥2a
a
2。
2
四、给定大于2004的正整数
，将1、2、3、…、
分别填入
×
棋盘（由
行
列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。
2
第二天
（2004年7月11日8：0012：00五、已知不等式22a3cosθ恒成立，求a的取值范围。六、设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：CDEFDFAEBDAF七、
支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球
的最大值。注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛。温州）
π
4

6π2si
2θ3a6对于θ∈0si
θcosθ2
八、求满足
xyyzzu0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组xyyzzu
（xyzu）的个数。
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f首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）
一、由柯西不等式，a2b3c≤1231a2b3c解：
222222

2
9
所以，a2b3c≤3，所以3二、证明：
a
9b27c≥333a2b3c≥33331
对AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：
APDEMB11，PDEMBAACFNDP对AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：12，CFNDPAABMDFC13对AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：BMDFCAADEFNMD（1）（3）式相乘得：（2）1，又DEDF，EMNDDFDMDNP所以有，DMDEDNDE
所以DMDN。
BMDFC
N
三、解：（1）假设存在正整数数列a
满足条件。
2∵a
1≥2a
a
2a
0∴
a
1a1r