微分几何主要习题解答
微分几何参考答案：
P51页
1求曲线rtsi
ttcosttet在原点的密切平面、法平面、从切面、切
线、主法线、副法线。
解原点对应t0
r0
si
ttcostcosttsi
tettett0011，
r

0

2
cost

tcostcosttsi
t2ettett0
202，
所以切线方程是xyz，法面方程是yz0；011
xyz密切平面方程是0110，即xyz0，
202
主法线的方程是
x
y
y
z
z
0
0
即xyz；211
从切面方程是2xyz0副法线方程式xyz。111
2．求以下曲面的曲率和挠率
⑴
r

a
cosht
a
si
h
t
at

⑵
r

a3t

t
3
3at
2

a3t

t
3
a

0
。
解
⑴
r

a
si
h
t
a
cosht
a，r


a
cosht
a
si
h
t0
，r



asi
h
t
c
osht0，
rr

a
si
h
t
cosht1，所以
k



r
rr3




2a2cosht
1

2acosht32acosh2t



rrrr
r2



2a4
a2cosh2
t

12acosh2
t
。
⑵
r

3a1

t
2
2t
1

t
2

，
r


6at
1
t
r



6a101
，
r×r18a2t212tt21
，
k



r
rr3



18a27a2
2
2
2t212t213
13at212
13
f微分几何主要习题解答



rrrr
r2


186a32
182a42t212
1
3at212
。
5．已知曲线
r

cos
3
t
si

3
t
cos
2t，⑴求基本向量



；⑵曲率和挠率；⑶
验证伏雷内公式。
分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本
向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解⑴
r

3cos2
t
si

t3si

2
t
cos
t2
si

2t

si

t
cos
t3cos
t3si

t4
，
ds

r
t

5
si

t
cost
（设
si
tcost0），
则
r
3cost3si
t4，
dt
r55
5


d
dt

1
3si
t3cost0，
dtds5si
tcost55


si
tcost0，







4
cost
4
si

t
3
，
5
5
5
⑵
k
3
，


4
si
tcost0
，由于

与

方
25si
tcost
25si
tcost
向相反，所以

4
25si
tcost
⑶
显然以上所得

k
满足


k



，而

1
costsi
t0
也满足伏雷内公式
。
5si
tcost
8．曲线ratsi
ta1cost4acost在那点的曲率半径最大。2
解
ra1costsi
t2si

t

rasi
tcostcos
t

r2
2si
t
2
2
2
r×ra22si
3
t
2si
2
t
cost
4acost2a2
si
2
t
si

t
cost
1
2
22
2
222

r
×
r

2a2si
2
t
2
2


k


r
rr3



18asi

t

2
R8asi
t所以在2
14
f微分几何r