xl
t1dt
0x
1t
（16）（本题满分10分）

设数列a
满足条件：a03a11a
2
1a
0
2Sx是幂级数a
x
的和函数，
0
（I）
证明：SxSx0
（II）求Sx的表达式
（17）（本题满分10分）
求函数fxyyx3exy的极值3
（18）（本题满分10分）
设奇函数fx在11上具有2阶导数，且f11证明：
（I）
存在01使得f1
（II）存在11，使得ff1
f（19）（本题满分10分）
设直线L过A100B011两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面与平面z0z2所围成的立体
为，
（I）（II）
求曲面的方程求的形心坐标
（20）（本题满分11分）
设
A

11
a0
0

B


1
1b

，当
a
b
为何值时，存在矩阵
C
使得
AC

CA

B
，并求所有矩阵
C
。
（21）（本题满分11分）
a1b1
设二次型
f
x1x2x3

2a1x1
a2x2
a3x32
b1x1
b2x2
b3x32，记


a2





b2

。
a3
b3
（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y12y22。
（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为
f
x

14
x2
0
2
0

x

3，令随机变量Y


x
其他
1
x11x2x2
（I）求Y的分布函数
（II）求概率PXY
（23）（本题满分11分）
设总体
X
的概率密度为
f
x

2

x3

ex

0
x

0
其中
为未知参数且大于零，
X1

X
，
2
XN为来自总体
其它
X的简单随机样本
（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量
f2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上
（1）已知极限limx0
x

arcta
xk
x

c
，其中c
k
为常数，且c

0，则（
）
（A）k2c12
（B）k2c12
（C）k3c13
（D）k3c13
【答案】D
【解析】limx0
xarcta
xk
x

lim
x0
xx
1x33xk
ox3

lim
x0
1x33xk

ck

3c

13
（2）曲面x2cosxyyzx0在点011处的切平面方程为（）
（A）xyz2
（B）xyz2
（C）x2yz3
（D）xyz0
【答案】A
【解析】设Fxyzx2cosxyyzx，
则Fxxyz2xysi
xy1Fx0111；Fyxyzxsi
xyzFy0111；FzxyzyFz0111，所以该曲面在点011处的切平面方程为xy1z10，
化简得xyz2，选A
f（3）设
fx
x12
x01，b

2
10
fxsi
xdx
12，令Sx
r