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11正弦定理和余弦定理
1.11正弦定理
预习课本P2~3,思考并完成以下问题1直角三角形中的边角之间有什么关系?
2正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形?
3解三角形的含义是什么?
新知初探1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sia
A=sib
B=sic
C点睛正弦定理的特点1适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.2结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.3刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.2.解三角形一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
小试身手1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1正弦定理适用于任意三角形2在△ABC中,等式bsi
A=asi
B总能成立3在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解解析:1正确.正弦定理适用于任意三角形.2正确.由正弦定理知sia
A=sib
B,即bsi
A=asi
B3错误.在△ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况,
1
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具体情况由a,b,A的值来定.
答案:1√2√3×
2.在△ABC中,下列式子与sia
A的值相等的是
b
si
B
Ac
Bsi
A
Csi
cC
cDsi
C
a
c
解析:选C由正弦定理得,si
A=si
C,
所以sia
A=sic
C
3.在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,则b等于
A.52
B.103
C1033
D.56
3解析:选B由正弦定理得,b=assii
AB=10×12=103
2
4.在△ABC中,A=π6,b=2,以下错误的是
A.若a=1,则c有一解
B.若a=3,则c有两解
C.若a=45,则c无解
D.若a=3,则c有两解
解析:选D
a=2
πsi
6=1
时,c
有一解;当
a1
时,c
无解;当
1a2
时,c
有两个
解;a2时,c有一解.故选D
已知两角及一边解三角形
典例在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c
解A=180°-B+C=180°-60°+75°=45°,
b由正弦定理si
aB=si
A,得b=assii
AB=8×sis
i
456°0°=4
6,
2
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2+6
由sia
A=sic
C,得c=assii
AC=8×sis
i
457°5°=8×
42
=43+1.
2
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路1由三角形的内角和定理求出第三个角.2由正弦定理公r