0
，所以y
t16112
在0上为减函数，
所以当t
0
时，y有最大值
。

法二：函数的定义域为因为
fx2x1在
134
134
上递增，
gx
134x
在
134
上递减，
f所以y
2x1
134
134x
在
112
134
上为增函数，
所以当x

时，y有最大值
。
综合突破突破1函数的最值问题与单调性结合考查典例1已知函数fx对于任意x，y∈R，总有fx＋fy＝fx＋y，且当x＞0时，fx＜0，2f1＝－。31求证：fx在R上是减函数；2求fx在－3，3上的最大值和最小值．解题思路对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相fx1应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较fx1－fx2与0的大小，或与1的大小．有时fx2x1根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2或x1＝x2＋x1－x2等．x2解题过程1证明：法一：∵函数fx对于任意x，y∈R总有fx＋fy＝fx＋y，∴令x＝y＝0，得f0＝0。再令y＝－x，得f－x＝－fx．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，fx1－fx2＝fx1＋f－x2＝fx1－x2．又∵x＞0时，fx＜0，而x1－x2＞0，∴fx1－x2＜0，即fx1＜fx2．因此fx在R上是减函数．法二：设x1＞x2，则fx1－fx2＝fx1－x2＋x2－fx2＝fx1－x2＋fx2－fx2＝fx1－x2．又∵x＞0时，fx＜0，而x1－x2＞0，∴fx1－x2＜0，即fx1＜fx2，∴fx在R上为减函数．2解∵fx在R上是减函数，∴fx在－3，3上也是减函数，∴fx在－3，3上的最大值和最小值分别为f－3与f3．而f3＝3f1＝－2，f－3＝－f3＝2。∴fx在－3，3上的最大值为2，最小值为－2。易错点拨抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．
fx1变式1已知定义在区间0，＋∞上的函数fx满足fx＝fx1－fx2，且当x＞1时，fx2＜0。1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1，求fx在2，9上的最小值．点拨1令x1＝x2＞0，代入得f1＝fx1－fx1＝0，故f1＝0。x12任取x1，x2∈0，＋∞，且x1＞x2，则＞1，x2x1由于当x＞1时，fx＜0，所以fx＜0，
2
即fx1－fx2＜0，因此fx1＜fx2，所以函数fx在区间0，＋∞上是单调递减函数．3∵fx在0，＋∞上是单调递减函数．∴fx在2，9上的最小值为f9．x19由fx＝fx1－fx2得，f3＝f9－f3，
2
而f3＝－1，所以f9＝－2。∴fx在2，9上的最小值为－2。答案（1）f1＝0；（2）单调递减函数；（3）最小r