12t2
2t
1t24t3
1t2
57
3分6分4分6分
3分
6分
f15、解：

1x2
si

2x

3dx


12

si

2x

3d

23

3
1cos23C2x
3分6分
16、解：
2
fx1dx
0
1
fxdx
1
0
fxdx
1
1
f
xdx

0
0exdx
1
1dx01x
3分

ex
01
l
1
x10
1e1l
2
6分
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17、证明：
1xm1x
dx
0
1

t
m
t


dt
0
1
4分

1
1
tm
t

dt

1
1

xm
x


dx
0
0
8分
18、、证明：设fxl
xxab，0ab
显然fx在区间ab上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理有
fbfafbaab
4分
由于
fx
1

因此上式即为
l
bl
aba
x

又由ab
bababa
b

a
当0ab时，bal
bba
8分
b
aa
五、应用题（本题共2小题第19小题8分，第20小题10分共18分）
19、解：Vr2h
表面积S

2r2
2rh

2r2
2r
Vr2

2r2

2Vr
4分
令
S


4
r

2Vr2
0
3
得rV2
3
Vh2
2
67
f3
3
答：底半径rV和高h2V，才能使表面积最小。
2
2
20、解：曲线yx2与xy2的交点为（1，1），
于是曲线yx2与xy2所围成图形的面积A为
1
A
0
x

x2dx
23
3
x2
13
x210

13
A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：
1
V
0
y2

y4
dy



y22

y55
1
0

310
8分2分
6分
10分
77
fr