建构物理模型，巧手探析题目
方法专题七“等时圆”模型
太原市第十二中学姚维明
模型建构：【模型】如图1所示，DB是圆周的直径，DA、
DC是圆周上的两条任意弦，从圆环上D点开始同时沿着三条光滑弦由静止释放三个圆环，则它们下滑的C时间相等。
【特点】斜面光滑，下滑的加速度agsi
θ；同一圆周上同一点出发的各条光滑弦上，物体由静止下滑运用的时间相等。
〖简析〗如图2所示，可以把DA看作斜面，倾斜角为α，下滑加速度为agsi
α
D
CO
AB图11
D
OαA
Bα图21
斜面长DA2Rsi
由运动学公式sDA1at2得到t4R
2
g
与α无关。可见沿任意光滑弦从静止下滑的时间相等。
模型案例：
【案例1】如图2把图1的圆周逆时针旋转90°，把三个小圆环从三条光滑弦上由静止
下滑的时间还相等吗？
〖解析〗把AD看作斜面如图3，设倾斜角为α，直径为2R，则下滑加速度为agsi
α
BA
斜面长为AD2Rsi
由运动学的位移公式s1at2
2解得：t4R与α无关。所以时间相等。
g
O
C
αD
图3
1
【案例2】如图3，一质点自倾角为α的斜面上方的P点，沿一光滑斜槽PA由静止开始滑下，要使质点从P点运动到斜面上所用时间最少，那么斜槽与竖直方向的夹角β应为多大？
解析：由等时圆模型如图2的性质知道，同一圆周上物体沿任意光滑
弦由静止开始运动的时间为t4Rg
A
图4P
半径越大，时间越长由图2得到启示我们找一个圆心在P点正下方，过P和斜面上的点，但半经最小的圆，而满足此条件的圆必与斜面相切，如图5粗实线所示
由几何知识很快得到2
βOOα
MNαA
α
图5
1
f建构物理模型，巧手探析题目
另外，我们也知道自P沿PM到M、沿PN到N用时相等，为4R，（如图5细实线所g
示，R为细实线圆的半径），很明显比从P到A用时长。
模型体验：
【体验1】如图6，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个
小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时
A
刻这些小物体所在位置所构成的面是（）
A球面B抛物面C水平面D无法确定
〖解析〗由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”
上，所以A正确。
图6
【体验2】如图7所示，在竖直平面内有一半径为R的圆环，同
A
一平面内有一点A，由点A到圆环上任一点M连接光滑直线，在重力作用下，一金属小环m从A点由静止出发滑到M，问M点位于何处
O1
时，m滑动所用的时间最短？〖解析〗我们也只需找到圆心在A点正下方，过A和已知圆上的
点，且半径最小的圆。
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