第5讲函数、导数与方程、不等式综合问题2017新题赏析题一：已知函数fxx22xaex1ex1有唯一零点，则a_____
题二：设x、y、z为正数，且2x3y5z，则（）
A．2x3y5zC．3y5z2x
B．5z2x3yD．3y2x5z
题三：已知函数fxl
xax22a1x．
（1）讨论fx的单调性；（2）当a0时，证明fx32．
4a
题四：已知函数fxax2axxl
x，且fx≥0（1）求a；（2）证明：fx存在唯一的极大值点x0，且e2fx022
f第1讲函数、导数与方程、不等式综合问题2017新题赏析
题一：12
题二：D
题三：（1）求导，得fx2ax22a1x12ax1x1x0
x
x
当a≥0时，fx≥0，则fx在0单调递增；
当a0时，则fx在01单调递增，在1单调递减
2a
2a
（2）证明：由（1）知，当a
0时，
f
xmax

f
12a
则f132l
111，令gtl
t1t（t10）
2a4a
2a2a
2a
求导gt110，解得t1
t
所以gt在01单调递增，在1单调递减
所以
gtmax

g1

0
，所以
gt≤0
，即
f

xmax
≤


34a

2
，
即fx≤324a
题四：（1）a1
（2）证明：由（1），知fxx2xxl
x，fx2x2l
x，（x0）
设hxfx2x2l
x，则hx21x
由hx0x12
由hx210，得x01，此时hx单调递减；
x
2
由hx210，得x1，此时hx单调递增
x
2
所以hxmi


h12

1l

12

l

2e

0
又因为he20，h10，
所以
h
x
在
0
12

有唯一零点
x0，在

12


有
唯一零点1，
f故当x0x0时，hx0；当xx01时，hx0，当x1时，hx0因为hxfx，所以xx0是fx的唯一极大值点
由
f
x

0，得l

x0

2x0

2，则
f
x0

x02

x0

x0
l

x0

x0

x02

14
注：
x0

12

因为xx0是fx在（01）的极大值点，而e101，所以fx0fe1e2所以e2fx022
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