2b2所以kAB＝＝－2＝2．x1－x2ay1＋y2a
又kAB＝0＋11b1＝，所以2＝．3－12a2
222
又9＝c＝a－b，解得b＝9，a＝18，
22
2
f所以椭圆E的方程为＋＝1．189D
x2
y2
本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
1xy过点M11作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1a＞b＞0相交于A，B两点，若M2ab是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
2
2
xya＋b＝1，解析：设Ax，y，Bx，y，则xya＋b＝1，
1122222222
212
212
∴∴∵
x1－x2a
2
x1＋x2
＋
y1－y2b
2
y1＋y2
＝0，
y1－y2b2x1＋x2＝－2．x1－x2ay1＋y2y1－y21＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，x1－x22
b2122∴－2＝－，∴a＝2b．a2
又∵b＝a－c，∴a＝2a－c，∴a＝2c，∴＝即椭圆C的离心率e＝答案：22巧用“根与系数的关系”，化繁为简2．2
22222222
ca
2．2
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．2016全国甲卷已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为t3
x2y2
kk0的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
f1当t＝4，AM＝AN时，求△AMN的面积；2当2AM＝AN时，求k的取值范围．设Mx1，y1，则由题意知y10．1当t＝4时，E的方程为＋＝1，A－20．43π由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．4因此直线AM的方程为y＝x＋2．将x＝y－2代入＋＝1，得7y－12y＝0．431212解得y＝0或y＝，所以y1＝．7711212144因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．277492由题意知t3，k0，A－t，0．将直线AM的方程y＝kx＋t代入＋＝1，t3得3＋tkx＋2ttkx＋tk－3t＝0．
22222
x2y2
x2y2
2
x2y2
t2k2－3tt－tk2由x1－t＝，2，得x1＝23＋tk3＋tk
故AM＝x1＋t1＋k＝
2
6t＋k23＋tk
2
．
1由题设，直线AN的方程为y＝－x＋t，
k
6kt＋k故同理可得AN＝23k＋t
2
．
2k由2AM＝AN，得，2＝23＋tk3k＋t即k－2t＝3k2k－1．3k3当k＝2时上式不成立，因此t＝
3
k－k3－2
．0，
t3等价于
即
k3－2k2＋k－2k－k2＋＝k3－2k3－2
k－20．k3－2
k－20，k－20
3
因此得
或
k－20，kr