x2
18本题满分11分
计算maxxy1dxdy其中Dxy0x20y2
D
19本题满分11分
设fx是区间0上具有连续导数的单调增加函数，且f01对于任意的
t0，直线x0xt，曲线yfx以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生
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fBor
towi
成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数fx的表达式
20本题满分11分
I证明积分中值定理：若函数fx在闭区间ab上连续，则至少存在一点ab，
b
使得fxdxfba；a3II若函数x具有二阶导数，且满足，212xdx，则至少存在2
一点13，使得0
21本题满分11分
求函数ux2y2z2在约束条件zx2y2和xyz4下的最大和最小值
22本题满分12分
设
元线性方程组Axb，其中
2a1
A


a
2
2a


a2

x1
1

，
x


x2

，
b


0

1

2a

x


0

I证明行列式A
1a

II当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1III当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解
23本题满分10分
设A为3阶矩阵，12为A的分别属于特征值11的特征向量，向量3满足A323，
I证明123线性无关；
II令P123，求P1AP
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fBor
towi
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题
1【答案】D【详解】因为f0f1f20，由罗尔定理知至少有101，212使
f1f20，所以fx至少有两个零点由于fx是三次多项式，三次方程
fx0的实根不是三个就是一个，故D正确
2【答案】C
【详解】
a
xfxdx
0
a
xdfxxfx
0
a0

a
fxdxafa
0
a
fxdx
0
a
a
其中afa是矩形ABOC面积，fxdx为曲边梯形ABOD的面积，所以xfxdx为
0
0
曲边三角形的面积．
3【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有ex、cos2x、si
2x知齐次线性方程所对应的特征方程有根r1r2i，所以特征方程为r1r2ir2i0，即r3r24r40故以已知函数为通解的微分方程是yy4y40
4【答案】A【详解】x0x1时fx无定义，故x0x1是函数的间断点
因为
l
x
1
1x
limfxlimlim
lim
x0
x0cscxx0x1x0cscxcotx
同理又
si
2x
x
lim
lim
0
x0xcosxx0cosx
limfx0
x0
lim
x1
f
x

lim
x1
l
xlimsi
x1x1
x


lim
x1
1x

si
1

si
1
limfxliml
xlimsi
xsi
1
x1
1xx1
x1
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f所以x0是可去间断点，x1是跳跃间断点
Bor
towi

5【答案】B【详解】因为fx在内单调有界，且x
单调所以fx
r