xaxaxakxxxf
。
2若
xxxf21的秩为2符号差为0使12
fxxx2212yy
1212yyyy
其中1y2y均为
xxx21的一次齐次多项式即

xaxaxay22111
xbxbxby22112
故
xxxf21可表示成两个一次齐次多项式的乘积。
例3二次型22
121212122242fxxxxxyxx在实数范围内能否分解。
解
令2
2
123121213231212g2242g1xxxxxxyxxxxfxxxx则求123gxxx的秩和符号差对123gxxx作非退化线性替换
1123
223
3
323yxxxyxxyx
222
123123g13xxxyyy的秩为3因此123gxxx不能分解从而12fxx
也不能分解。
例4因式分解2
2
3241fxyxyxyy解
令22
3241fxyxyxyyfxyxy则
g1对gxyz作非退化线性替换
133
cc2cy
yzzx
所以2
2
2
2
1212ccgccgxyzxyxyf
因此1可见fxy的秩为2符号差为0。
f所以分解因式为22
12gcc311fxyxyxyxy
1。23判断二次曲线的形状
平面上中心坐标原点的有心二次曲线方程的一般形式可写成
222axbxycyd
那么他就是一个实二元二次型
22
2Qxyaxbxycyxyxx
yybc
它作为二次曲线的方程就是在三维欧氏空间的直角坐标系中的函数2
2
2zaxbxycy
的二次曲面与平面zd的交线在坐标平面xoy上的正投影。下面我们来讨论如何利用二次型来判别二次曲线的形状。
例5判断二次曲线01124212
2212
1xxxxxx的形状。解112024
I
这是抛物形曲线
23145
12616252
4241
6
1
2
II所以是一条抛物线化简后方程为
2
2150y。或
2
2150y。
即
0512
2
yy
或
2
210y。
因此这条抛物线的焦准距2
P
f例6判断二次曲线22
11221231010210xxxxxx的形状。
解131
5
2
034
1
2
I

这是双曲线。此时
231
52
351524
5
5
21
I
3112I因为30I≠解下面特征方程
231
915
2
103422
1
2
EAλλλλλλ
得特征根121
522
λλ。又
2
1
1II于是化简后的方程为22
12151022
yy
即
22
12122
5
yy
所以这条双曲线的实半轴a
5
b
。3、二次型在几何方面的应用
在代数学中我们认识了几何的产生和发展解析几何中将曲面公式化为二次型的标
准形的问题进行研究本节主要运用二次型的标准型来计算曲线图形的面积。
f31求平面图形的面积
例7求2
2
42220xyxxy曲线围成图形的面积。
解设2
2
2
2
2
4222fxyxyxxyxyzxyzxyxy令g4222则
fxyxyg1。
经过非退化线性替换
1111433xxyzzyyzz


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