11
ijijijaxx
∑∑所以12T
fxxxXAX此中T
xxxX21那么对称矩阵A我们就简称为二次型的矩阵。
2、二次型在初等数学中的应用
21不等式证明
在数域P上含有
元12
xxx的二次齐次多项式
221211112121122222222




fxxxaxaxxaxxaxaxxax也称
为数域P上的一个
元二次型简称二次型。记
11121122122
212
j12

ijji


aaaxxaaaXAaaxaaa它是对称矩阵则二次型可表示为12T
fxxxXAX称A是二次型矩阵二次型
经过可逆线性替换只含有平方项系数即12
gyyy2221122d
dyydy标准型所对应的矩阵是一个对角矩阵如果标准型中的系数12
ddd全为正数则二次型
f12
fxxx为正定二次型这时任意不全为零的实数12
xxx都有120T
fxxxXAX≥。相关不等式证明如下
例1三角形三个内角abc对任意的实数zxy都有
2222cos2cos2coscxyzxyaxybyz≥。
解2222cos2cosb2cosTfxXAXxyzxyaxzyzc
其中Txxyz
1coscoscos1coscoscos1abAacac


cosccosb
1coscos0si
si
b000abcaabAaπ

作初等变换得
于是A的特征值01si
a由以上定义可知是半正定的对于任意实数xyz则0fx≥。即得证。
例2求证222724424xyzyzxyxzxyz其中不全为零的实数解设二次型222724424fxyzxyzyzxyxz
则f矩阵为
712122224A

因此A各顺序主子式为
712
717016012224012224
所以0fxyz即
f222724424xyzyzxyxz得证。
22多项式的因式分解
定理一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是它的秩为2和符号差为0或秩等于1。证明必要性
设


xbxbxbxaxaxaxxxf2211221121
1若两个一次多项式的系数成比例即
ikabii21不妨设01≠a令

2
222111

xyxyxaxaxay则2
121kyxxxf
即二次型
xxxf21的秩为1
2若两个一次多项式的系数不成比例不妨设
2
2
11baba≠令
332211222111


xyxyxbxbxbyxaxaxay
则2121yyxxxf
再令

33212211
zyzyzzyzzy则2
22
12121zzyyxxxf
故二次型
xxxf21的秩为2符号差为0。
充分性1若
xxxf21的秩为1则经非退化线性替换使2
121kyxxxf
其中
xaxaxay22111。故
f2
221121r