人教版九年级上册数学旋转几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学旋转易错题压轴题（难）
1．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
1如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；2如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．3如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题2中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可；【详解】解：（1）证明：如图：
∵∠ACB＝∠AEF＝90°，
∴△FCB和△BEF都为直角三角形．
∵点P是BF的中点，
∴CP＝1BF，EP＝1BF，
2
2
∴PC＝PE．
（2）PC＝PE理由如下：
如图2，延长CP，EF交于点H，
f∵∠ACB＝∠AEF＝90°，∴EHCB，∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP，∵点P是BF的中点，∴PF＝PB，∴△CBP≌△HFPAAS，∴PC＝PH，∵∠AEF＝90°，∴在Rt△CEH中，EP＝1CH，
2∴PC＝PE．（3）2中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，
∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，
DAFEAF在△DAF和△EAF中，FDAFEA
AFAF
∴△DAF≌△EAFAAS，∴AD＝AE，
ADAE在△DAP≌△EAP中，DAPEAP
APAP
∴△DAP≌△EAPSAS，∴PD＝PF，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FDBCPM，
∴DMFP，MCPB
f∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．
2．1观察猜想如图1，在△ABC中，∠BAC90°，ABAC点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；2拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则1中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由3解决问题若BCDE2，在2r