08301702x01922
0126603417x103008814x
f三种插值多项式与fx的曲线在同一坐标系
215
fx1125x2fxN5xfxN10xfxS10x
1
05
0
05
1
08
06
04
02
0
02
04
06
08
1
题目3：龙贝格积分
1．算法原理
通过逐步缩小步长h的方法，以使积分的近似值满足精度要求。在实际中，通过将区间
间逐次对半分来实现。在变步长积分的思想上，对于复化梯形积分：
I

f


T2


4
1
1
T2

T


对于复化辛普森求积公式：
S


T2


4
1
1
T2

T

同理可以证明：
C


S2


1421S2

S

再令：
1R
C2
431C2
C
即为龙贝格积分公式。
龙贝格积分是将区间ab逐次分半，逐次递推计算，以得到较高精度的积分近似值。
龙贝格的积分公式如下：
T1

b
2
a

f
a

f
b
1
ba2k
ba
T2k12T2k2k1i1fa2i12k1
k012
f
S2k

T2k1

141
T2k1
T2k
C2k
S2k1
1421S2k1
S2k

R2k
C2k1

1431
C2k1
C2k
k012
若R2k1R2kIfR2k1
2程序框图
求积函数fx积分区间ab
T1

b
2
a

f
a
f
b
k0
1
ba2k
ba
T2k12T2k2k1i1fa2i12k1

S2k

T2k1
141T2k1
T2k
C2k
S2k1
1421S2k1
S2k

R2k
C2k1
1431C2k1
C2k
kk1
R2k1R2k
oyes
IfR2k1
3MATLAB编程实现（1）编写自定义函数（fm）：
fu
ctio
fu
fx
ffu
log1xx改变函数表达式求不同的函数的积分取习题62的积分函数为例采用龙贝格积分方法求积分。（2）编写龙贝格积分程序见附录（myrombergm）：
4算例结果
（1）11dx01x
R_k
0693147978563680
（2）
1l
1x01x2dx
R_k
0272198867426936
（3）
1l
1xdx
0x
R_k
0822467764886147
（4）2si
xdx0x
R_k
1370762774269822
题目4：四阶龙格库塔法求解常微分方程的初值问题
1算法原理
对于高阶常微分方程的初值问题：
ymfxyyyym1axb
ya

y0
ya

y0
ym1ay0m1
将其转化为一阶微分方程组求解：

y1y2

y2y3


ym
1

ym

ym


f
xy1
y2
ym
y1a

y0
y2a

y
0


yma

ym10
标准的四级四阶龙格库塔法的向量形式：
f
yi1


yi

16
K1

K2

K3

K4
K1hfxiyi

K
2


hf
xi

12
h
yi

12
K1

K3


hf
xi

12
h
yi

12
K2
K4hfxihyiK3
其分量形式：

y
j
i1


yij

16Kj1

Kj2

Kj3

Kj4
Kj1hfjxiy1iy2iy
i
K
j2

hfjxi

h2

y1i

K112

y2i

K212


y
i

K
12
j12


K
j3

hfjxi

h2
y1i

K122

y2i

K222


y
i

K
22

Kj4hfjr