Q＝1，x，－z，
→QD＝－1，a－x0．
由PQ⊥QD，得－1＋xa－x＝0，
即x2－ax＋1＝0
由题意知方程x2－ax＋1＝0只有一解．
∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈0，a．
答案：A
→
→
→
2．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝2，－1，－4，AD＝420，AP
＝－12，－1．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③→AP是平面ABCD的法向量；④A→P∥B→D其
中正确的是
5
fA．①④
B．②④
C．①②③
D．③④
→→
→→
解析：ABAP＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；APAD＝－4＋4＝0，
→∴AP⊥AD，②正确；由①②知AP是平面ABCD的法向量，∴③正确
④不正确．
答案：C
3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是DD1，D1C1的中点，则关于直线OM下列说法正确的是________．
①是AC和MN的公垂线；
②垂直于AC，但不垂直于MN；
③垂直于MN，但不垂直于AC；
④与AC，MN都不垂直．
解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则A100，C010，O12，12，0，M0，0，12，N0，12，1，则A→C＝－110，M→N＝0，12，12，→OM＝－12，－12，12，→AC→OM＝0，→MN→OM＝0，即选项①正确．
答案：①
4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，点P为C1D1的中点，点M为BC的中点，则△APM的面积为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A22，00，M2，20，
P01，3，
→→cos〈A→P，A→M〉＝A→APP→AAMM＝22，
6
fsi
〈A→P，A→M〉＝22，
S△APM＝12→AP→AMsi
〈→AP，→AM〉＝12×23×6×22＝3答案：35已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点1求证：A1E⊥BD；2若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．证明：以D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，空间直角坐标系，设正方体棱长为a1Aa00，Ba，a0，C0，a0，A1a0，a，C10，a，a．设E0，a，z，
→则A1E＝－a，a，z－a，→BD＝－a，－a0，A→1EB→D＝a2－a2＋z－a0＝0
→→∴A1E⊥BD，即A1E⊥BD2E为CC1的中点．证明如下：
若E是CC1的中点，则E0，a，a2，设BD的中点为O，连接AC，OE，A1O则Oa2，a2，0，O→E＝－a2，a2，a2，→BD＝－a，－a0，则O→EB→D＝0，O→E⊥B→D，∵O→A1→BD＝－a22＋a22＋0＝0，
→→∴OA1⊥BD，∴∠A1OE为二面角A1BDE的平面角．→→OA1OE＝0，则∠A1OE＝90°，
建立
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f∴平面A1BD⊥平面EBD∴当E为CC1的r