S
234
1（错位相减）222222212
2
1
122
2S
4
1∴2
三、反序相加法求和这是推导等差数列的前
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到
个a1a
例5求证：C
3C
5C
2
1C
12
012


证明：设S
C
3C
5C
2
1C
…………………………①
012

2
f金银品牌
把①式右边倒转过来得

10S
2
1C
2
1C
13C
C

（反序）
又由C
C
m

m
可得
01
S
2
1C
2
1C
3C
1C
………………②01
2S
2
2C
C
C
1C
2
12

①②得∴
2o2
（反序相加）
S
12
o2o2o2o
例6求si
1si
2si
3si
88si
89的值解：设Ssi
1si
2si
3si
88si
89…………①
2o2o2o2o2o
将①式右边反序得
Ssi
289osi
288osi
23osi
22osi
21o…………②
又因为si
xcos90oxsi
2xcos2x1①②得
（反序）
（反序相加）
2Ssi
21ocos21osi
22ocos22osi
289ocos289o＝89
∴S＝445
四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例7求数列的前
项和：11
111427
13
2，…aaa111解：设S
11427
13
2aaa
将其每一项拆开再重新组合得
S
1
1112
11473
2aaa3
1
3
1
当a＝1时，S
＝2211
1
a3
1
＝aa3
1
当a≠1时，S
12a121a
32
（分组）（分组求和）
例8求数列
12
1的前
项和解：设akkk12k12k3kk
3
f金银品牌
∴
S
∑kk12k1＝∑2k33k2k
k1k1



将其每一项拆开再重新组合得S
＝2
∑
k1


k33∑k2∑k
k1k1



（分组）
＝212
312
12
333222

2
12
12
1
1＝222
＝
（分组求和）

12
22
五、裂项法求和裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求r