数列求和的基本方法和技巧
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一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：S

a1a
2
a1
12d
2、等比数列求和公式：S

a1
a1a
qa11q1q1q
q1q1
3、S

k1


k
12

1
4、S

k1


k
2

16

12
1
5、S

k1


k
3
12
121log
2
例1已知log
3
x
，求xxxx的前
项和
23

312
2
解：由log
3
x
1log
2
log3
3
xlog
3
2x
由等比数列求和公式得
S
xx
xx
3


（利用常用公式）

1
＝
x1x

11
1212

1x
＝
2
＝1－
12

例2设S
＝123…
，
∈N求f

S
32S
1
12
的最大值
12
解：由等差数列求和公式得S
∴f
S
32S
1

1，S

1
2
（利用常用公式）
＝

34
64
2
＝
1
3464

＝

18
150

150
50
2
∴当


88
，即
＝8时，f
max
1
f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a
b
的前
项和，其中a
、b
分别是等差数列和等比数列例3求和：S
13x5x7x2
1x
23
1
………………………①
1
解：由题可知，2
1x设xS
1x3x
2

1
的通项是等差数列2
－1的通项与等比数列x
4
的通项之积


5x7x
3
2
1x………………………②
234
1
（设制错位）（错位相减）
①－②得1xS
12x2x2x2x2x再利用等比数列的求和公式得：1xS
12x
2
1x
1

2
1x


1x

1
1x
2
1x


∴
24
2
S
2
2

2
1x1x1x
2
例4求数列


62
3
2
2

前
项的和12

22
解：由题可知，设S
12S

的通项是等差数列2
的通项与等比数列

的通项之积
22
22
2


42
2
62
3

2222
2
2
2

…………………………………①………………………………②
22
4
4212
3
62
4
2
2
1
（设制错位）（错位相减）
①－②得1
S

22
3

22


2
2
1
22
1
r